·22 智能系统学报 第7卷 在信息获取和处理等方面寻找新的出路 式中：更是一个以（*表示共轭转置)为行的 近些年来，一种名为“压缩感知”(compressive M×W矩阵，表示一个普遍意义下的采样行为，不妨 sensing,CS)[1s]的理论开始频繁出现在人们的视线之 称其为观测矩阵，这样可以简单地将信号与波形 中，该理论证明了当信号具有稀疏性或可压缩性时， P()联系起来：如果P(t)是冲击函数，那么y就 可以通过全局非自适应线性投影的方式，用远低于 是理想的信号时域抽样序列；如果9：()是正弦波， Shannon/Nyquist采样定理要求的频率获取信号的全 那么y就是信号的傅里叶系数，这也正是核磁共振 部信息，并且采用非线性优化方法重建该信号.2004 成像(magnetic resonance imaging,MRI)等医学类断 年加州理工大学的E.Candes等在研究医学图像重建 层成像技术的信号获取模型。利用这种采样机制可 的过程中发现了这一现象4]：2006年D.Donoho所撰 以通过M个向量P.(t)∈R"来获取信号f∈R“的 写的一篇以“压缩感知”为名的论文发表在EEE 信息.令人真正感兴趣的是M≤N的情况，也就是说 Transactions on Information Theory上，该理论因此得 当观测值∫的长度远远小于信号值∫的长度时是否 名；随后E.Candes等又进一步证明了采用非自适 有可能从少量的测量值中精确恢复信号呢？是否可 应的随机线性投影方法，可以在观测值高度不完备和 以人为地设计M(M≤N)个P:(t)使其获得信号的 不精确的情况下以极大的概率实现信号重建6).在 全部信息呢？ 此基础上D.Donoho等又在多篇文章中对这一技术进 从数学的角度来看上述想法几乎是不可能的， 行了深人的分析与进一步的探索[8]，使得该理论的 要解决这样的问题就涉及到求解一个条件远远少于 框架日趋完善.作为一种全局采样方式，CS采样过程 未知数的“欠定”方程组，而这种方程组的解应当有 需要同时操作信号的全部采样值.由于潜在像素时间 无穷多个，但是如果信号具有某种特殊的形式，比如 上的同时性，以及自然图像的成像恰好符合这一要 一个信号的值在大部分时间里都是0，只有S个位 求，因此以CS理论为基础的压缩成像(compressive 置有值，那么只要有M≥S个观测样本，方程组中的 imaging,CI)技术241可以显著节省传感器的数量， 方程数量相对于未知数来讲就显得“充足”了，这就 避免了“先采样再压缩”带来的资源浪费，该项技术的 涉及到了信号中普遍存在的稀疏性和可压缩性， 发展将会对诸多领域产生革命性的影响.例如在非可 1,2信号的稀疏性和可压缩性 见光谱成像中，感光器件的价格往往是极其昂贵的， 如果将信号∫的支撑集的势定义为sup(f):= 若要使用传统方法在某一波段对特定的场景成像，那 {i:f≠0}，那么包含在集合s:={fup()≤S}中的 么一次就要根据成像精度的要求使用几百万或上干 信号就称为S稀疏信号，换句话来说S稀疏信号就是 万个针对该频谱的感光器件，但是如果调整成像波 指信号中非零值元素个数最多不超过S个的信号. 段，那么就要将这几百万个感光器件全部更换，假如 信号的稀疏性并不仅仅体现在时域上，考虑一 能够通过CS理论将感光器件的数量降低到一个，那 个长度为N的实值一维离散时间信号f∈R“(高维 么将大大节省成本 信号可以向量化为一维信号).对于一组N×1维正 CS理论的魅力在于其暗示了一种全新的信号 交基向量{中：1，可以将信号表示为这组正交基的 获取准则，引领人们从另外一个角度审视信息与载 线性组合： 体信号之间的深层联系，在此基础上发展起来的CI 技术在降低成像成本、优化成像方式等方面拥有巨 (1) 大的发展潜力，在医学成像、空间探测、非可见光成 式中：x为正交变换的系数.如果以少作为列，构成 像等领域具有广阔的应用前景.本文在概述CS理 一个N×N维的正交基矩阵平的话，式(1)可以方 论的基础上，着重介绍了CI技术的原理及其发展状 便地表示为 况，并对其关键问题进行了分析。 f=Vx. (2) 1 式中：x是以x:为元素的N×1系数向量 压缩感知的基本原理 显然时域形式∫或频域形式x在表示同一个信 1.1常规采样机制 号时是等价的.从这个角度上来说，如果系数矩阵x 为了便于后续的讨论，首先要介绍一下信号处 的支撑集的势为sup(x):={i:x:≠0}，那么当 理中常规的采样机制.一个信号f(t)的获取可以表 sup(x)≤S时，依然可以将信号f称为S-稀疏信号， 示为 只是该信号的稀疏性表现在了频域上. y=(f,p〉，k=1,2,…,M 在实际的处理过程中很难遇到严格的稀疏信 或者等价的 号，待处理信号的能量不会仅仅集中在时域或频域 y =f. 中的若干个点上，大多数情况下它们是散布于整个