83控制系统的李雅普诺夫稳定性分析 稳定性描述系统受到外界干扰，平衡工作状态被破坏后，系统偏差调节过程的收敛性。 它是系统的重要特性，是系统正常工作的必要条件。经典控制理论用代数判据、奈氏判据、 对数频率判据、特征根判据来判断线性定常系统的稳定性，用相平面法来判断二阶非线性系 统的稳定性，这些稳定判据无法满足以多变量、非线性、时变为特征的现代控制系统对稳定 性分析的要求。182年，俄国学者李雅普诺夫建立了基于状态空间描述的稳定性概念，提 出了依赖于线性系统微分方程的解来判断稳定性的第一方法（称为间接法）和利用经验和技 巧来构造李雅普诺夫函数借以判断稳定性的第二方法（称为直接法）。李雅普诺夫提出的稳 定性理论是确定系统稳定性的更一般的理论，不仅适用于单变量、线性、定常系统，还适用 于多变量、非线性、时变系统，它有效地解决过一些用其它方法未能解决的非线性微分方程 的稳定性问题，在现代控制系统的分析与设计中，得到了广泛的应用与发展。 8.3.1李雅普诺夫稳定性概念 忽略输入后，非线性时变系统的状态方程如下 =f(x,) (8-70) 式中，x为n维状态向量：1为时间变量：f(x,)为n维函数，其展开式为 文=(x,2,,xn）i=1,…,n 假定方程的解为x(化xo,6),和和和分别为初始状态向量和初始时刻，x(1o;x,)=x。 平衡状态如果对于所有，满足 元.=fx,)=0 (8.71) 的状态x称为平衡状态（又称为平衡点）。平衡状态的各分量不再随时间变化。若已知状态 方程，令云=0所求得的解x,便是平衡状态。 对于线性定常系统x=A红，其平衡状态满足Ax。=0,如果A非奇异，系统只有惟 一的零解，即存在一个位于状态空间原点的平衡状态。至于非线性系统，fx。,)=0的解 可能有多个，由系统状态方程决定。 控制系统李雅普诺夫意义下的稳定性是关于平衡状态的稳定性，反映了系统在平衡状态 附近的动态行为。鉴于实际线性系统只有一个平衡状态，平衡状态的稳定性能够表征整个系 统的稳定性。对于具有多个平衡状态的非线性系统来说，由于各平衡状态的稳定性一般并不 31 327 8.3 控制系统的李雅普诺夫稳定性分析 稳定性描述系统受到外界干扰，平衡工作状态被破坏后，系统偏差调节过程的收敛性。 它是系统的重要特性，是系统正常工作的必要条件。经典控制理论用代数判据、奈氏判据、 对数频率判据、特征根判据来判断线性定常系统的稳定性，用相平面法来判断二阶非线性系 统的稳定性，这些稳定判据无法满足以多变量、非线性、时变为特征的现代控制系统对稳定 性分析的要求。1892 年，俄国学者李雅普诺夫建立了基于状态空间描述的稳定性概念，提 出了依赖于线性系统微分方程的解来判断稳定性的第一方法（称为间接法）和利用经验和技 巧来构造李雅普诺夫函数借以判断稳定性的第二方法（称为直接法）。李雅普诺夫提出的稳 定性理论是确定系统稳定性的更一般的理论，不仅适用于单变量、线性、定常系统，还适用 于多变量、非线性、时变系统，它有效地解决过一些用其它方法未能解决的非线性微分方程 的稳定性问题，在现代控制系统的分析与设计中，得到了广泛的应用与发展。 8.3.1 李雅普诺夫稳定性概念 忽略输入后，非线性时变系统的状态方程如下 x  = f (x,t) （8-70） 式中，x 为 n 维状态向量；t 为时间变量； f (x,t) 为 n 维函数，其展开式为 1 2 ( , , , , ) i i n x f x x x t = i = 1,  , n 假定方程的解为 ( ; , ) 0 0 x t x t ，x0 和 t0 分别为初始状态向量和初始时刻， 0 0 0 0 x(t ; x ,t ) = x 。 平衡状态 如果对于所有 t，满足 x  e = f (xe ,t) = 0 （8-71） 的状态 xe称为平衡状态（又称为平衡点）。平衡状态的各分量不再随时间变化。若已知状态 方程，令 x  = 0 所求得的解 x，便是平衡状态。 对于线性定常系统 x  = Ax ，其平衡状态满足 Axe = 0 ，如果 A 非奇异，系统只有惟 一的零解，即存在一个位于状态空间原点的平衡状态。至于非线性系统， f (xe ,t) = 0 的解 可能有多个，由系统状态方程决定。 控制系统李雅普诺夫意义下的稳定性是关于平衡状态的稳定性，反映了系统在平衡状态 附近的动态行为。鉴于实际线性系统只有一个平衡状态，平衡状态的稳定性能够表征整个系 统的稳定性。对于具有多个平衡状态的非线性系统来说，由于各平衡状态的稳定性一般并不