§224整数阶Beel函数的生成函数和积分表 第8页 如果在 Bessel函数的生成函数展开式 Jn(x)tn,0<团<∞ 中令t 还可以得到 eo=∑J(ni"em=J(x)+2∑iJn(a)osn 特别是,如果再令x=kr,于是就有 计o=Jo(kr)+2∑iJn(kr)cosn 把上式中的r和θ理解为柱坐标系中的坐标变量,并且把k理解为波数,同时取相位的时间因子 为eiut,则上式两端都分别对应于波动过程相位因子的空间部分:左端是沿正x轴方向传播 的平面波,因为它的等相位面是 rcos6-ut=常数; 而右端各项中的J0(kr)和Jn(kr)描述的是柱面波.因此,这个展开式的意义就是平面波按柱面波 展开 现在来解释为什么J(kr)描述的是柱面波.由 Bessel函数的渐近展开 argx<丌 可以看出,当r足够大时,J(kr)所描述的波动过程的相位就是 dewit I 2/(k +exp 等相位面是柱面 2-4千ut=常数, 分别描述的是等相位面随着时间不断扩大或收缩的发散或会聚的柱面波.而且,由于()式中还 含有与√F成反比的振幅因子,波动过程的能流密度就与r成反比,可是由于圆柱的侧面积与r成 正比,所以单位时间内通过每个圆柱面流过的总能量不变.这就是说,()式描述的还是一个不 衰减的柱面波 同样,N(x)也可以用来描写柱面波,也是发散的柱面波和会聚的柱面波的叠加 ①传播方向与相位的时间因子的规定有关.如果取时间因子为eut,这个平面波就是向负x轴方向传播的Wu Chong-shi §22.4 ✐s❥ Bessel rsá❦❧rst♠♥♦♣ ✉ 8 ✈ ❩❬▲ Bessel ❻❘❚❚❯❻❘★✩♥ exp  x 2  t − 1 t  = X∞ n=−∞ Jn(x)t n , 0 < |t| < ∞. ♦✄ t = ieiθ ✖➍❜➀ûü e ix cos θ = X∞ n=−∞ Jn(x)in e inθ = J0(x) + 2X∞ n=1 i n Jn(x) cos nθ. ✁✂❍✖❩❬✕ ✄ x = kr ✖ñ❍➹❅ e ikr cos θ = J0(kr) + 2X∞ n=1 i n Jn(kr) cos nθ. q➪ ♥ ♦❚ r ❋ θ à ❨❞✌r❖➈ ♦❚r❖ ⑤⑥✖ ❡❢q k à ❨❞s❘✖Û ❙❝❭t❚❙✉ Ö✈ ❞ e −iωt ✖❏➪ ♥❆❬ ❂➔ ✂ ✾➋ñs✇①❄❭t Ö✈ ❚②✉✔➔❊③ ❬ ❍④■ x ⑤❃ ⑥⑦⑧ ⑨ ❚ ó➶s✖ Ö ❞⑩❚❶❭t ➶ ❍ kr cos θ − ωt = ✮❘; ➷ ❩❬❷♣ ♦❚ J0(kr) ❋ Jn(kr) ❸❹❚❍✌ ➶ s✫Ö ❿✖❪ ❇★✩♥❚Ï✆ ➹❍ó➶s❺✌➶ s ★✩✫ ❛ ▲❮❨❻❞❼❽ Jν(kr) ❸❹❚❍✌ ➶ s✫❾ Bessel ❻❘❚✦✧★✩ Jν(x) ∼ r 2 πx cos  x − νπ 2 − π 4  , |arg x| < π. (z) ❜➀þ②✖P r ✡❾❿❙✖ Jν(kr) ô❸❹❚s✇①❄❚❭t➹❍ cos  kr− νπ 2 − π 4  e −iωt = 1 2  exp h i  kr− νπ 2 − π 4 −ωti+exp h −i  kr− νπ 2 − π 4 +ωti  , ❶❭t ➶ ❍✌ ➶ kr − νπ 2 − π 4 ∓ ωt = ✮❘, ➔ ✂ ❸❹❚❍❶❭t ➶➀➁❙✉✿➂➃❿ ùÔ➄❚ð❃ù➅➆❚✌ ➶ s✫➷ ❢ ✖❾ñ (z) ♥ ♦➍ ✎❅➇ √ r ❯➈ ❴❚➉➊Ö✈ ✖s✇①❄❚☎➋➌➍➹➇ r ❯➈ ❴✖❜❍ ❾ñ ➎✌❚➏ ➶ ➓➇ r ❯ ■ ❴✖ô➀➐t❙✉ ×✭①➑❇ ➎✌➶ ➋①❚￾☎⑥ ✿ ⑤✫❪ ➹❍➒✖ (z) ♥❸❹❚➍❍❴❇✿ ➓➔❚✌ ➶ s✫ Û÷✖ Nν(x) Ú ❜➀➌❮ ❸→✌➶ s✖ Ú ❍ð❃❚✌ ➶ s❋➅➆❚✌ ➶ s❚➣↔✫ ⑨ ↕➙➛➜➝➞➟➠➡➢➤➥➠➦➧➨➩➫➭➯➲➡➢➤➥➳ e iωt ➵➸➺➻➼➽➾➚➜➪ x ➶➛➜↕➙➠➫