d ∧dxk 证因为 dx.adx d.adx 所以 de dx∧axAd dx∧dx;^dx 由于 x∧x,∧dx;=a; adx a dx;=dx1∧dx;Adx, 从而 ( 0+Adk人dk°dω ∑= ∧ ∧ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = n i j k i j k j ki i jk k ij dx dx dx x a x a x a 3 , , 1 1 。 证 因为 , 1 n ij i j i j ω a dx dx = = ∧ ∑ , 1 n jk j k j k a dx dx = = ∧ = ∑ = ∧ n k i akidxk dxi , 1 ∑ ， 所以 ∑= ∧ ∧ ∂ ∂ = n i j k k i j k ij dx dx dx x a d , , 1 ω ∑= ∧ ∧ ∂ ∂ = n i j k i j k i jk dx dx dx x a , , 1 ∑= ∧ ∧ ∂ ∂ = n i j k j k i j ki dx dx dx x a , , 1 ， 由于 dxk ∧ dxi ∧ dx j = dx j ∧ dxk ∧ dxi = dxi ∧ dx j ∧ dxk ， 从而 dω ∑= ∧ ∧ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = n i j k i j k j ki i jk k ij dx dx dx x a x a x a 3 , , 1 1 。 2