例3已知向量组a1,a2,a3线性无关,证明向量组 B1=a1+a2,B2 P3=a 线性无关 证设k1B1+k2B2+k3B3=0,则有 (k1+k3)a1+(k1+k2)a2+(k2+k3)a3=0 因为a1,a2a3饿线性无关所以 k1+k:=0 101k11「0 k1+k,=0,即110k 系数行列式10=2≠0,该齐次方程组只有零解 故B1,B2,B3线性无关 例4判断向量组 e1=(1,0,0,…,0),e2=(0,1,0,…,0),,en=(0,0,…,0,1) 的线性相关性 解设k1e1+k22+…+knn=0,则有 (k1,k2,…,kn)=θ→只有k1=0,k2=0,…,kn=0 故e1 线性无关 例5设a1,a2,…,an两两正交且非零,证明该向量组线性无关 证设ka1+k2a2+…+knam=6,两端与a1作内积可得 k[a1,a1]+…+ka1,c1l+…+km{an,c1l=|6,c;l5 例 3 已知向量组 1 2 3  , , 线性无关, 证明向量组  1 =1 + 2 ,  2 =  2 + 3 ,  3 =  3 +1 线性无关． 证 设 k1 1 + k2 2 + k3 3 =  , 则有 (k1 + k3 )1 + (k1 + k2 ) 2 + (k2 + k3 ) 3 =  因为 1 2 3  , , 线性无关, 所以      + = + = + = 0 0 0 2 3 1 2 1 3 k k k k k k , 即           =                     0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 3 2 1 k k k 系数行列式 2 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 =  , 该齐次方程组只有零解． 故 1 2 3  ,  ,  线性无关． 例 4 判断向量组 (1,0,0, ,0) e1 =  , (0,1,0, ,0) e2 =  , …, = (0,0,  ,0,1) n e 的线性相关性． 解 设 k1 e1 + k2 e2 ++ kn en =  , 则有 (k1 ,k2 ,  ,kn )=   只有 k1 = 0,k2 = 0,  ,kn = 0 故 n e ,e , ,e 1 2  线性无关． 例 5 设    m , , , 1 2  两两正交且非零, 证明该向量组线性无关． 证 设 k11 + k2 2 ++ km m =  , 两端与  i 作内积可得 [ , ] [ , ] [ , ] [ , ] k1 1  i ++ ki  i  i ++ km  m  i =   i