SMR=∑()∑( o r(=e)dr 4-19 f2(x)dx Localisation==Auu) I(o f(xds 以下我们先分析一下滤波器的宽度,或空间比例,对∑()和A()的影响。假设我们 从产生一个与f成空间比例的滤波器m,fm=/(%)前面已证明了多重响应准则不受空 间比例的影响。当把f代入(4-19)和(4-20)时可得到空间比例滤波器的性能测量为 ∑()=V0∑()^(a)=-=入( 4-21 这两个公式中的第一个公式的含义比较直观。即,用于台阶边缘时,冲激响应函数较宽的滤 波器的信/噪比要比冲激响应函数较窄的高。因为∑()与√o成正比。第二个公式表明较 窄的滤波器比宽的滤波器有较好的定位性。因为A(fa)与√成反比。这就是存在于台阶边 缘检测算子的检测性能与定位性能之间的不确定性原理。通过对∫在空间上作比例变换,我 们可在检测特性和定位性之间作综合平衡,但我们不能同时改善这两者。这意味着把综合准 则选择为(4-19)和(4-20)的乘积是很自然的。因为这个准则在比例变化时保持不变。 ∑()^(f)= ow /(x)dr (o) f"()dr 现在求解f(x)的问题就变成了根据(4-22)式寻找f使∑()^()极大的问题。式(4-22) 中有四项积分,难以直接用变分法求解。为此, Canny把(4-22)式的极大值问题演绎成在 使其余3项积分保持不变的条件下,使SNR项分母中的积分f2(x)极小的问题,即求 解使下述积分极小的函数f(x) 与此同时要求满足下述约束条件: ouf()dx=Ci, Lwf2(x)dx=C2 (4-24) ow"()dx=C3,/'(o) 利用拉格朗日( Lagrange)乘子法首先生成一个复合函数vx,f,f,f"),这个函数是出现 在要求极小化的表达式和约束条件中的函数的线性组合。求解v(x,f,f,)的无约束极大 值等价于求解原来的约束条件下的极大值。这时就可以按变分法,用欧拉( Euler)方程求 解∫(x),求得在[HQ范围内的通解形式为 f() +a2e cos ax +aze-an 这个函数满足下述边界条件: f0)=0,f(-H)=0.f(o)=S,f(-1)=081 ( ) ( ) ( ) ( ) SNR A n f f f x dx f x dx W W W =   =   − − + 0 0 2 , 4-19 ( ) ( ) f (x)dx f f f n A Localization W  W + − =     = '2 0 '(0) , 4-20 以下我们先分析一下滤波器的宽度，或空间比例，对 ( f ) 和 ( f ) 的影响。假设我们 从 f 产生一个与 f 成空间比例的滤波器 f， f f( ) x   = 前面已证明了多重响应准则不受空 间比例的影响。当把 f 代入（4-19）和（4-20）时可得到空间比例滤波器的性能测量为 ( f)  ( f ) ( f) ( f )   =  ,   =   1 4-21 这两个公式中的第一个公式的含义比较直观。即，用于台阶边缘时，冲激响应函数较宽的滤 波器的信／噪比要比冲激响应函数较窄的高。因为 ( f) 与  成正比。第二个公式表明较 窄的滤波器比宽的滤波器有较好的定位性。因为 ( f  ) 与  成反比。这就是存在于台阶边 缘检测算子的检测性能与定位性能之间的不确定性原理。通过对 f 在空间上作比例变换，我 们可在检测特性和定位性之间作综合平衡，但我们不能同时改善这两者。这意味着把综合准 则选择为（4-19）和（4-20）的乘积是很自然的。因为这个准则在比例变化时保持不变。 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f f f x dx f x dx f f x dx W W W W W   =        − − − 0 2 2 0 4-22 现在求解 f (x) 的问题就变成了根据（4-22）式寻找f使 ( f )( f ) 极大的问题。式（4-22） 中有四项积分，难以直接用变分法求解。为此，Canny 把（4-22）式的极大值问题演绎成在 使其余３项积分保持不变的条件下，使 SNR 项分母中的积分 f (x)dx W 0 2 −  极小的问题，即求 解使下述积分极小的函数 f (x) f (x)dx W 0 2 −  (4-23) 与此同时要求满足下述约束条件： ( ) ( ) ( ) ( ) f x dx C f x dx C f x dx C f C W W W − − −    =  =  =  = 0 1 0 2 2 0 2 3 0 4 , , (4-24) 利用拉格朗日（Lagrange）乘子法首先生成一个复合函数 (x, f , f  , f ) ，这个函数是出现 在要求极小化的表达式和约束条件中的函数的线性组合。求解 (x, f , f  , f ) 的无约束极大 值等价于求解原来的约束条件下的极大值。这时就可以按变分法，用欧拉（Euler）方程求 解 f (x) ，求得在 −W, 0 范围内的通解形式为 f (x) a e x a e x a e x a e x C x x x x = + + + + − − 1 2 3 4         sin cos sin cos 4-25 这个函数满足下述边界条件： f(0) = 0, f(−W) = 0, f (0) = S, f (−W) = 0