当m>n时.若A≠0,则 Im 0/AIm-AB A/Im 0 In八(BIn A 0 In-A-BA 所以|-AB|=入 BA|=Mm-MⅠ-BA.若 入=0,因为r(AB)≤m<m,所以|AB=0=0m=-BA 当m=n时.若A≠0,即上面的例子.若入=0,则|0Zn-AB|=|-AB|= 1-BA=J0I-BA 法2)令41=(40)m,B1=(b)由上例知一4 B1A1|故|A-A1B1 AB,而 JAI-B1All BA 0 AⅠ-B4 2)由矩阵特征多项式第二高次项系数为矩阵之迹,即得; (3)由(1),(2)即得 (b)(4)=( AIm -AB 0 B In Im 0/AlmA 0 ALN-BA 两边取行列式即得.口 例10设a=( )∈R1xn,且 1,求In-2a′a的特征值 解λ是A=In-2aa的特征值,则 (A-1)n+2aa|=(A-1)=l(A-1)+2aa=(-1)-1(A+1) 故1为n-1重特征值,-1为1重特征值.口 例11已知n阶矩阵的秩等于n-1,其特征值为A1,A2,……An,试求A*的全部 特征值. 解因r(4)=n-1,故A至少有一个特征值为0,不妨设A=0.对A,存在可 逆矩阵P,使得P-1AP =B,则B*=PA(P)-1与A 相似,从而与A*有相同特征值# m > n  λ 6= 0, f  Im 0 −λ −1B In   λIm − AB A 0 In   Im 0 B In  =  λIm A 0 In − λ −1BA  , +T |λI − AB| = λ m|I − λ −1BA| = λ m−n |λI − BA|.  λ = 0, Z5 r(AB) ≤ m < n, +T |AB| = 0 = 0m−n | − BA|. # m = n  λ 6= 0, V~&n{ λ = 0, f |0In − AB| = | − AB| = | − BA| = |0I − BA|. (54) u A1 = ( A 0)m×m, B1 =  B 0  m×m , ℄np |λI − A1B1| = |λI − B1A1|, G |λI − A1B1| = |λI − AB|, 3 |λI − B1A1| = |λI −  BA 0 0 0  | = λ m−n |λI − BA|; (2) ℄dl.m2E+4AE>$5dlqTV% (3) ℄ (1), (2) V% (5)  Im −A 0 In   λIm A B In  =  λIm − AB 0 B In  ,  Im 0 −B λIn   λIm A B In  =  λIm A 0 λIn − BA  , p JrV% 2  10  α = ( a1 a2 · · · an ) ∈ R 1×n ,  αα′ = 1,  In − 2α ′α &.mr  λ  A = In − 2α ′α &.mrf |(λ − 1)In + 2α ′α| = (λ − 1)n−1 |(λ − 1) + 2αα′ | = (λ − 1)n−1 (λ + 1), G 1 5 n − 1 w.mr −1 5 1 w.mr 2  11 Sp n adl&u'_ n − 1, .mr5 λ1, λ2, · · · λn.  A∗ &Æ .mr  Z r(A) = n − 1, G A t^RC.mr5 0, 9 λn = 0. 0 A, ei dl P, % P −1AP =   λ1 ∗ · · · ∗ λ2 · · · ∗ . . . . . . λn   := B, f B∗ = P ∗A∗ (P ∗ ) −1 ` A∗ D(3` A∗ ^D2.mr 10