(b)证明每一公式都有与其重言等价的合取范式 (6)(a)假定a为一个公式其中仅包含联词→。证明A分B不重言等价于a (b)假定β为一个公式其中仅包含联词冷。证明A→B不重言等价于B。 (7)我们将真假值F和T分别看成为0和1,并规定0≤1。当n>0时,我们称一个 n-元布尔函数∫为单调的,如果对任何i=1, ∫(x1,…,x-1,0,x+1 n)≤f(x1 证明个n-元布尔函数f是单调的当且仅当它可以被仅用联词{∧,V,T,}的公式所 表达。 (8)我们称一个联词的集合C为极大不完全的,如果C不是功能完全的,但对任意C 表达不了的布尔函数g,联词集C∪{g}都是功能完全的。证明联词集{∧,v,T,⊥} 为极大不完全的。 习题25. (1)证明如果△a并且对每一B∈△,+B,则r+ao (2)证明下列公式为L中的内定理,其中a和β为合式公式。[注意:这是一个语法的 练习,请不要使用任何有关语义的结果,当然也就不能用后面的完全性定理。 (a)-→B。 (c)-→(a→B) (d)(a→B)→(-a→B)→B (e)a→ (a→B) 习题2.6. (1)用自然推演证明以前的公理(A1),(A2)和(A3)。 (2)用自然推演证明习题2.5中的公式 习题2.7(b) 证明每一公式都有与其重言等价的合取范式。 (6) (a) 假定 α 为一个公式其中仅包含联词 →。证明 A ↔ B 不重言等价于 α。 (b) 假定 β 为一个公式其中仅包含联词 ↔。证明 A → B 不重言等价于 β。 (7) 我们将真假值 F 和 T 分别看成为 0 和 1，并规定 0 ≤ 1。当 n > 0 时，我们称一个 n-元布尔函数 f 为单调的，如果对任何 i = 1, · · · , n, f(x1, · · · , xi−1, 0, xi+1, · · · , xn) ≤ f(x1, · · · , xi−1, 1, xi+1, · · · , xn)。 证明个 n-元布尔函数 f 是单调的当且仅当它可以被仅用联词 {∧, ∨, ⊤, ⊥} 的公式所 表达。 (8) 我们称一个联词的集合 C 为极大不完全的，如果 C 不是功能完全的，但对任意 C 表达不了的布尔函数 g，联词集 C ∪ {g} 都是功能完全的。证明联词集 {∧,∨, ⊤, ⊥} 为极大不完全的。 习题 2.5. (1) 证明如果 ∆ ⊢ α 并且对每一 β ∈ ∆，Γ ⊢ β，则 Γ ⊢ α。 (2) 证明下列公式为 L 中的内定理，其中 α 和 β 为合式公式。[注意：这是一个语法的 练习，请不要使用任何有关语义的结果，当然也就不能用后面的完全性定理。] (a) ¬¬β → β。 (b) β → ¬¬β。 (c) ¬α → (α → β)。 (d) (α → β) → (¬α → β) → β。 (e) α → ¬β → ¬(α → β)。 习题 2.6. (1) 用自然推演证明以前的公理 (A1)，(A2) 和 (A3)。 (2) 用自然推演证明习题 2.5 中的公式。 习题 2.7. 5