4,正交变换 41定义欧式空间V的线性变换p称为正交变换，若((a,()=(a,),对任意a,B∈V 4.2重要结果欧式空间V的线性变换如为正交变换 分(o(a,()=(a,),对任意a,B∈V,即保持向量的内积不变 台(a=al,对任 a∈V,即o保持向量的长度不变 片如果1,2，… ,n为标准正交基，则(-(a,(-(a2,·,(-(an)也是标准正交基； ÷~在任一组标准正交基下的矩阵为正交矩阵. 43行列式为1的正交变换称为旋转，或者称为第一类的：行列式为-1的正交变换称为第二类的 5,对称变换与反对称变换 5.1对称变换欧式空间V的线性变换p称为对称变换，若((a),)=(a,(8),对任意a,B∈V. ()欧式空间V的线性变换为对称变换台P在任一组标准正交基下的矩阵为对称矩阵. (m)设0为对称变换是o不变的子空间，则V以也是o不变的子空间. ()欧式空间V的对称变换的特征值为实数，特征向量为实向量，且属于不同特征值的特征向量一定 正 等价说法为实对称矩阵的性质。 5.2反对称变换欧式空间V的线性变换p称为反对称变换，若((a,3)=-(a,p(3),对任意a,3∈V. (欧式空间V的线性变换为反对称变换 在任一组标准正交基下的矩阵为反对称矩阵。 回)设为反对称变换，是不变的子空间，则也是不变的子空间 (曲)欧式空间V的反对称变换的特征值为零或纯虚数：若入=a,a≠0为p的特征值，u+i加为对应的 特征向量，则=-为V的特征值，u-i为对应的特征向量：属于互不共轭的特征值的特征向量一定正 交. 等价说法 ,a≠0为A的特征值，u+ -为A的特征值，u一D为对应的特征向量：属于互不共轭的特征值的特征向量一定正 交. 6,子空间 设巧.巧为欧式空间V的子空间.a∈V.若对任意B∈W.v∈5.恒有(B.v)=0.则称V.为正 交的，记为：若对任意B∈恒有a=0则称a与%正交，记为a1。 空 V两两正 ,则V ,为直和 ()若⊥且+=V,则称为%的正交补.n为欧式空间V的每一个子空间%都有唯一的正 交补 7,向量到子空间的距离 ()设V为欧式空间，a,B∈V,长度a-称为向量a与的距离： 间若W为欧式空间V的任一非平凡子空间，则对任意a∈V,存在aw∈W使得a-W上W 称a-aw为向量a到子空间W的距肉 ()设W为欧式空间V的任一非平凡子空间，a∈V,则存在唯一的aw∈W及a中∈W1使得 设a=aw+a,aw称a在W上的正射影. 例题9.1在线性空间2中，定义：（工，）=xA,对任意x=(1,2),y=(h,2∈2，其中A= 2一3 -36 (1)证明：(c,)是2的内积，因此严按此内积作成一个欧式空间： 24, CÜ 4.1 ½¬ Ó™òmV Ç5CÜϕ°èCÜ,e(ϕ(α), ϕ(β)) = (α, β), È?øα, β ∈ V . 4.2 ­á(J Ó™òmV Ç5CÜϕèCÜ ⇔ (ϕ(α), ϕ(β)) = (α, β), È?øα, β ∈ V , =ϕ±ï˛S»ÿC; ⇔ |ϕ(α)| = |α|, È?øα ∈ V , =ϕ±ï˛›ÿC; ⇔ XJε1, ε2, · · · , εnèIOƒ, K(ϕ(α1),(ϕ(α2), · · · ,(ϕ(αn)è¥IOƒ; ⇔ ϕ3?ò|IOƒe› è› . 4.3 1™è1CÜ°è^=, ½ˆ°è1òa; 1™è−1CÜ°è1a. 5, È°CÜÜáÈ°CÜ 5.1 È°CÜ Ó™òmV Ç5CÜϕ°èÈ°CÜ, e(ϕ(α), β) = (α, ϕ(β)), È?øα, β ∈ V . (i) Ó™òmV Ç5CÜϕèÈ°CÜ⇔ ϕ3?ò|IOƒe› èÈ°› . (ii) ϕèÈ°CÜ, V1¥ϕÿCfòm, KV ⊥ 1 è¥ϕÿCfòm. (iii) Ó™òmV È°CÜAäè¢Í,Aï˛è¢ï˛, Ö·uÿ”AäAï˛ò½ . d`{è¢È°› 5ü. 5.2 áÈ°CÜ Ó™òmV Ç5CÜϕ°èáÈ°CÜ, e(ϕ(α), β) = −(α, ϕ(β)), È?øα, β ∈ V . (i) Ó™òmV Ç5CÜϕèáÈ°CÜ⇔ ϕ3?ò|IOƒe› èáÈ°› . (ii) ϕèáÈ°CÜ, V1¥ϕÿCfòm, KV ⊥ 1 è¥ϕÿCfòm. (iii) Ó™òmV áÈ°CÜAäè"½XJÍ; eλ = ai, a 6= 0èϕ Aä, u + ivèÈA Aï˛, Kλ = −aièV Aä, u − ivèÈAAï˛; ·upÿ
›AäAï˛ò½ . d`{ (iii’) áÈ°› AAäè"½XJÍ, eλ = ai, a 6= 0èAAä, u + iv, u, v ∈ RnèÈA Aï˛, Kλ = −aièAAä, u − iv èÈAAï˛; ·upÿ
›AäAï˛ò½ . 6, fòm (i) V1, V2èÓ™òmV fòm, α ∈ V . eÈ?øβ ∈ V1, γ ∈ V2, ðk(β, γ) = 0, K°V1, V2è , PèV1 ⊥ V2; eÈ?øβ ∈ V1 ðk(α, β) = 0, K°αÜV1, Pèα ⊥ V1. (ii) efòmV1, · · · , Vs¸¸, KV1 + · · · + Vs èÜ⁄. (iii) eV1 ⊥ V2ÖV1 + V2 = V , K°V2èV1÷. nèÓ™òmV zòáfòmV1—kçò ÷. 7, ï˛fòmÂl (i) V èÓ™òm, α, β ∈ V , ›|α − β|°èï˛αÜβÂl; (ii) eWèÓ™òmV ?òö²Öfòm, KÈ?øα ∈ V , 3αW ∈ W ¶α − αW ⊥ W. °|α − αW |èï˛αfòmWÂl. (iii) WèÓ™òmV ?òö²Öfòm, α ∈ V , K3çòαW ∈ W 9α ⊥ W ∈ W⊥¶ α = αW + α ⊥ W , αW °α3W˛K. ~K9.1 3Ç5òmR2•, ½¬: (x, y) = xAy0 ,È?øx = (x1, x2), y = (y1, y2) ∈ R2 , Ÿ•A = 2 −3 −3 6 ! . (1) y²: (x, y)¥R2S», œdR2UdS»ä§òáÓ™òm; 2