6)I(x)=1+0x+0x2+…称为(乘法的)幺元,使得V(x)∈K[x有 f(x)/(x)=f(x); 7)乘法有交换律 8)加法与乘法有分配律:f(x)(g(x)+(x)=f(x)g(x)+f(x)h(x) 定义92K[x]连同上面定义的加法与乘法,称为数域K上的一元多项式环 相应的系数,次数等概念在中学已教授 912整除、因式、重因式、最大公因式、不可约多项式的定义 定义93给定∫(x),g(x)∈K[x,f(x)≠0。若存在一q(x)∈K[x],使 g(x)=q(x)f(x),则称f(x)整除g(x),记作f(x)lg(x),f(x)称为g(x)的因式,g(x) 称为∫(x)的倍式。若f(x)不能整除g(x),则记作f(x)g(x) 定义9.4如果f(x),g(x)不全为零多项式,设d(x)∈K[x],d(x)≠0,若 d(x)|f(x),d(x)lg(x),则称d(x)为f(x),g(x)的一个公因式。如果d(x)还满足:(i) d(x)是首一多项式;(ⅱ)对f(x),g(x)的任意公因式d1(x),都有d1(x)d(x),则称d(x) 为f(x),g(x)的最大公因式,记作(f(x),g(x)。如果(f(x),g(x)=1,则称f(x),g(x) 互素 定义9.5 设p(x)是K[x内一多项式,degp(x)≥1,如果p(x)在K[x内的因 式仅有零次多项式及qp(x),这里a∈K,a≠0,则称p(x)是K[x]内的一个不可约多项式, 否则称其为可约多项式。 定义9.6对于K[x]内的一个多项式f(x),如果0≠d(x)∈K[x]满足: d(x)|f(x),d(x)4“f(x) 则称d(x)是∫(x)的k重因式。 913带余除法 设∫(x),g(x)∈K[x],f(x)≠0,则存在唯一的q(x),r(x)∈K[x],使 g(x)=q(xf(x)+r(x) 其中r(x)=0或degr(x)<degf(x)。我们称q(x)和r(x)分别称为用∫(x)去除g(x)所得 的商和余式 证明存在性设 f(x)=ax"+a1x+…+an(a≠0)6） 2 I x x x ( ) 1 0 0 = + + + 称 为 （ 乘 法 的 ） 幺 元 ， 使 得   f x K x ( ) [ ] 有 f x I x f x ( ) ( ) ( ) = ； 7） 乘法有交换律； 8） 加法与乘法有分配律： f x g x h x f x g x f x h x ( )( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ). + = + 定义 9.2 K x[ ] 连同上面定义的加法与乘法，称为数域 K 上的一元多项式环。 相应的系数，次数等概念在中学已教授。 9.1.2 整除、因式、重因式、最大公因式、不可约多项式的定义 定 义 9.3 给 定 f x g x K x f x ( ), ( ) [ ], ( ) 0   。若存在一 q x K x ( ) [ ]  ， 使 g x q x f x ( ) ( ) ( ) = ，则称 f x( ) 整除 g x( ) ，记作 f x g x ( ) | ( ) ，f x( ) 称为 g x( ) 的因式，g x( ) 称为 f x( ) 的倍式。若 f x( ) 不能整除 g x( ) ，则记作 f x g x ( ) | ( )  。 定义 9.4 如果 f x( ) ， g x( ) 不全为零多项式，设 d x K x d x ( ) [ ], ( ) 0   ，若 d x f x d x g x ( ) | ( ), ( ) | ( ) ，则称 d x( ) 为 f x( ) ， g x( ) 的一个公因式。如果 d x( ) 还满足：（i） d x( ) 是首一多项式；（ii）对 f x( ) ，g x( ) 的任意公因式 1 d x( ) ，都有 1 d x d x ( ) | ( ) ，则称 d x( ) 为 f x( ) ，g x( ) 的最大公因式，记作 ( ( ), ( )) f x g x 。如果 ( ( ), ( )) f x g x =1，则称 f x( ) ，g x( ) 互素。 定义 9.5 设 p x( ) 是 K x[ ] 内一多项式， deg ( ) 1 p x  ，如果 p x( ) 在 K x[ ] 内的因 式仅有零次多项式及 ap x( ) ，这里 a K a   , 0 ，则称 p x( ) 是 K x[ ] 内的一个不可约多项式， 否则称其为可约多项式。 定义 9.6 对于 K x[ ] 内的一个多项式 f x( ) ，如果 0 ( ) [ ]   d x K x 满足： 1 ( ) | ( ), ( ) | ( ) k k d x f x d x f x +  则称 d x( ) 是 f x( ) 的 k 重因式。 9.1.3 带余除法 设 f x g x K x f x ( ), ( ) [ ], ( ) 0   ，则存在唯一的 q x r x K x ( ), ( ) [ ]  ，使 g x q x f x r x ( ) ( ) ( ) ( ), = + 其中 r x( ) 0 = 或 deg ( ) deg ( ) r x f x  。我们称 q x( ) 和 r x( ) 分别称为用 f x( ) 去除 g x( ) 所得 的商和余式。 证明 存在性 设 1 0 1 0 ( ) ( 0). n n n f x a x a x a a − = + + + 