月1…,] 因为T可由T线性表示所以 月1…]→rnkA≤s 于是可得r≤秩(T)= ranks s 推论1若T可由T2线性表示,则秩(T1)≤秩(T2) 证设秩(T1)=r,且T1的最大无关组为a1,…,axn; 秩(2)=s,且T2的最大无关组为月,…,B,则有 T可由T2线性表示 ,a,可由T2线性表示 ax1,…,a,可由月,…,月,线性表示 s(定理9) 推论2设向量组T与T2等价,则秩(T)=秩(T2) 注]由“秩(T1)=秩(T2)”不能推出“T1与T等价”! 正确的结论是: r可由r线性表示→T与T等价 秩(T1)=秩T T2可由T线性表示 →T与T,等价 秩(T)=秩(T2) 例8设An,Bwn,则rank(AB)≤ rankA,rnk(AB) rank B 证设A=q)m,B=:,4B=C=1:·则 1b1+…+anb1(=1,2,…,m)15   A = 1   r  1   s 因为 T1 可由 T2 线性表示, 所以   A 0  0  1   s 列 →  rankA  s 于是可得 r  秩 (T) = rankA  s． 推论 1 若 T1 可由 T2 线性表示, 则 秩 (T1 )  秩 ( ) T2 ． 证 设 秩 (T ) = r 1 , 且 T1 的最大无关组为   r , , 1  ； 秩 (T ) = s 2 , 且 T2 的最大无关组为   s , , 1  , 则有 T1 可由 T2 线性表示    r , , 1  可由 T2 线性表示    r , , 1  可由   s , , 1  线性表示  r  s （定理 9） 推论 2 设向量组 T1 与 T2 等价, 则 秩 (T1 ) = 秩 ( ) T2 ． [注] 由“秩 (T1 ) = 秩 ( ) T2 ”不能推出“ T1 与 T2 等价”！ 正确的结论是：     ( ) = ( ) 1 2 1 2 T T T T 秩 秩 可由 线性表示 T1 与 T2 等价     ( ) = ( ) 1 2 2 1 T T T T 秩 秩 可由 线性表示 T1 与 T2 等价 例 8 设 Aml , Bln , 则 rank( AB)  rankA , rank( AB)  rankB ． 证 设 ( ) m l A aij  = ,           = l b b B  1 ,           = = m c c AB C  1 Δ , 则 ( 1,2, , ) ci = ai1b1 ++ ailbl i =  m