非线性方程选代法的基本思想 非线性方程的选代法(例) 将原方程f(x)=0改写成容易迭代的形式x=g(x),选 合适的初值x,进行选代:x=9(x.)(k=0,2,…) 例1 f(x)=x2+x-14=0→x=9(x) 3.00003.50003.Ill3.40543.17793.3510 3.000032857 f(3)=-2,f(4)=6存在根x∈(3,4) x=q(x)=14-x2,迭代公式:x=14-x2 1t0+1x:=(1+4573279 x=q(x)=14/(x+1),迭代公式xa=14(x+D) x=,(x)=x-(x2+x-14)/2x+1) 根本不收敛;g2虽呈现收敛趋势,但很慢:φ,收敛很快 迭代公式:x,=x4-(x+x4-14)2x+1) 选代法的几何解释 迭代法的收敛性 x=(x4),k=0,1 不动点x=c(x) 设y=φ(x)在a≤x≤b连续,且a≤y≤b,若存在L<1使 p(x)≤L,则x=9(x)在a≤x≤b有唯一解x,且 1)对于x∈(a,b),迭代公式x=p(x)(k=0,1,2…)产生 的序列{x}收敛于x (x1x2) 2)k-x4-x-x11k-x L不易确定口放宽定理条件,缩小初值范围 局部收敛性:只要φ(x)在x的一个邻域连续且 1 收敏于x 取决于曲线的斜率不收敛于 p(x)<,则对于该邻域内的任意初值xn,序列 x}就收敛于x。 (学学奖 (学学实验) 迭代法的收敛速度(收敛阶 选代法的收敛速度(例) 记e,=x.-x,若m=c≠0(P为一正数) 例题f(x)=x2+x-14=02(x)=14/(x+1) 称序列{x}P阶收敛。显然,P越大收敛越快 92(x)= 叭4)=mxx-x)+…+gB x+1202(x)=0={xk;1阶收敛 O(P)(r) 02(x)=x-(x2+x-14)/(2x+1 ek+1=q(x)ek+…+ q(x)≠0,{x,}I阶收戴跳他 93(x) 2(x2+x-14) q(x)=…=q"(x)=0,q"(x)≠0,{x}P阶收敛 g(x)≠0→{xk}2阶收敛 站论:()的构造决定收斂遗度3 例1 ( ) 14 0 2 f x = x + x − = 2 x =ϕ1 (x) =14− x , 迭代公式： 2 1 14 k k x = − x + ( ) 14/( 1) x =ϕ2 x = x+ ，迭代公式： 14/( 1) xk+1 = xk + ( ) ( 14) /(2 1) 2 x = ϕ 3 x = x − x + x − x + , 迭代公式： ( 14) /(2 1) 2 xk +1 = xk − xk + xk − xk + f (3) = −2, f (4) = 6 存在根 x ∈ (3,4) ⇒ x = ϕ(x) 非线性方程迭代法的基本思想 将原方程 f (x) = 0 改写成容易迭代的形式 x = ϕ(x) , 选 合适的初值 0 x , 进行迭代： ( ) ( 0,1,2, ) xk +1 = ϕ xk k = L x0 x1 x2 x3 x4 x5 ϕ 1 3.0000 5.0000 -11.0000 -107.0000 ϕ 2 3.0000 3.5000 3.1111 3.4054 3.1779 3.3510 ϕ 3 3.0000 3.2857 3.2749 3.2749 3.2749 3.2749 ϕ1根本不收敛；ϕ 2 虽呈现收敛趋势，但很慢；ϕ 3 收敛很快。 3.2749 2 ( 1 57) , 2 ( 1 1 14 4) * 1,2 ≈ − + = − ± + × x = x 非线性方程的迭代法（例） 迭代法的几何解释 y=φ(x) x* x y y=x 0 x1 x0 P0(x0,x1) x2 P1(x1,x2) x3 P2 P3 x y y=x y=φ(x) 0 x* x0 x1 x2 x3 P0 P1 P3 {xk}收敛于x* {xk}不收敛于x* 取决于曲线 φ(x)的斜率 ( ) * * xk+1 = ϕ(xk ), k = 0,1,L 不动点x =ϕ x 迭代法的收敛性 设 y = ϕ(x) 在 a ≤ x ≤ b 连续，且 a ≤ y ≤ b ，若存在 L < 1 使 ϕ′(x) ≤ L, 则 x = ϕ(x) 在 a ≤ x ≤ b 有唯一解 * x ，且 1） 对于 ( , ) 0 x ∈ a b ，迭代公式 ( ) ( 0,1,2 ) xk +1 = ϕ xk k = L 产生 的序列{ }k x 收敛于 * x ； 2） 1 0 * * * 1 1 , x x L L x x L x x x x k k k k − − + − ≤ − − ≤ 。 局部收敛性：只要ϕ(x) 在 * x 的一个邻域连续且 ( ) 1, * ϕ′ x < 则对于该邻域内的任意初值 0 x ，序列 { }k x 就收敛于 * x 。 L不易确定 放宽定理条件，缩小初值范围 迭代法的收敛速度（收敛阶） 记 * e x x k = k − ，若 0 1 lim = ≠ + → ∞ c e e p k k k （ p 为一正数） 称序列 { }k x p 阶收敛。显然， p 越大收敛越快。 = + ′ − +L+ k − p +L p k k x x p x x x x x x ( ) ! ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) * * * * ϕ ϕ ϕ ϕ ( ) 0 * ϕ ′ x ≠ ,{ }k x ( ) ( ) 0, ( ) 0 * ( 1) * ( ) * ′ = = = ≠ − x x x p p ϕ L ϕ ϕ ，{ }k x p 阶收敛 + = ′ +L+ k p +L p k k e p x e x e ! ( ) ( ) ( ) * * 1 ϕ ϕ 1阶收敛(线性收敛) 结论：φ(x)的构造决定收敛速度 ( ) ( 14)/(2 1) 2 ϕ3 x = x − x + x − x + 迭代法的收敛速度（例） ( ) 14 /( 1) ( ) 14 0 ϕ2 x = x + 2 例题 f x = x + x − = , ( ) 0 { } 1阶收敛 ( 1) 14 ( ) * 2 2 2 k x x x x ′ ≠ ⇒ + − ϕ ′ = ϕ ( ) 0 { }2阶收敛 , ( ) 0, (2 1) 2( 14) ( ) * 3 * 3 2 2 3 k x x x x x x x ′′ ≠ ⇒ ′ = + + − ′ = ϕ ϕ ϕ