现在将微分运算d推广到∧上去。对∧中的任意一个k-形式 O 12…,k (x)dx,∧d 定义 d ∑ (x))∧dx;^dx;入…∧dx ∑∑ Isi<i2<<ksn i=l ax. u, ad 同时,对空间A=A+A++A上的任意一个元素 0:∈ 定义 do=do+da1+…+dono 这样的微分运算d称为外微分现在将微分运算d推广到 k 上去。对 k  中的任意一个 k-形式 1 2 1 2 1 2 , , , 1 ( )d d d k k k i i i i i i i i i n  g x x x x      =     ， 定义 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ,,, 1 ,,, 1 1 d (d ( )) d d d d d d d k k k k k k i i i i i i i i i n n i i i i i i i i i i n i i g x x x x g x x x x x            = =      =         。 同时，对空间 =  +  + + 0 1  n 上的任意一个元素 i  = 0 +1 ++ n , i   ， 定义 0 1 d d d d     = + + + n。 这样的微分运算d称为外微分