2003年考研数学(二)真题评注 、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) (1)若x→0时,(1-ax2)4-1与xsnx是等价无穷小,则a 【分析】根据等价无穷小量的定义,相当于已知n(1-ax2) 1,反过来求a.注 x→+0xSmx 意在计算过程中应尽可能地应用无穷小量的等价代换进行化简 【详解】当x→>0时,(1-ax2 w--ax, xsin xx 于是,根据题设有lim sling -a=1,故a=4 x→0 xSIn x 【评注】本题属常规题型,完全类似例题见《数学复习指南》P38【例1.62】 (2)设函数y=(x)由方程xy+2hx=y2所确定,则曲线y=x)在点(1,1)处的切线方 程是 【分析】先求出在点(1,1)处的导数,然后利用点斜式写出切线方程即可 【详解】等式xy+2hx=y4两边直接对x求导,得 y+xy’+==4y3y 将x=1,y=1代入上式,有y'(1)=1.故过点(1,1)处的切线方程为 y-1=1(x-1),即 【评注】本题属常规题型,综合考查了隐函数求导与求切线方程两个知识点,类似例 题见《数学复习指南》P55【例2.13】和【例214】 (3)y=2的麦克劳林公式中x"项的系数是(h2) 【分析】本题相当于先求y=fx)在点x=0处的n阶导数值f"(O),则麦克劳林公式 中x"项的系数是(0 【详解】因为y=2h2,y”=2(h2)2,…,y4=2(h2)”,于是有 0()=(h2),故麦克劳林公式中x”项的系数是”(0)_(m2)1 2003 年考研数学（二）真题评注 一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上） （1） 若 x →0 时， (1 ) 1 4 1 2 − ax − 与 xsin x 是等价无穷小，则 a= -4 . 【分析】 根据等价无穷小量的定义，相当于已知 1 sin (1 ) lim 4 1 2 0 = − → x x ax x ，反过来求 a. 注 意在计算过程中应尽可能地应用无穷小量的等价代换进行化简. 【详解】 当 x →0 时， 4 2 1 2 4 1 (1− ax ) −1 ~ − ax ， 2 x sin x ~ x . 于是，根据题设有 1 4 4 1 1 lim sin (1 ) lim 2 2 0 4 1 2 0 = − = − = − → → a x ax x x ax x x ，故 a=-4. 【评注】 本题属常规题型，完全类似例题见《数学复习指南》P.38 【例 1.62】. （2） 设函数 y=f(x)由方程 4 xy + 2ln x = y 所确定，则曲线 y=f(x)在点(1,1)处的切线方 程是 x-y=0 . 【分析】 先求出在点(1,1)处的导数，然后利用点斜式写出切线方程即可. 【详解】 等式 4 xy + 2ln x = y 两边直接对 x 求导，得 y y x y + xy  + =  3 4 2 ， 将 x=1,y=1 代入上式，有 y (1) = 1. 故过点(1,1)处的切线方程为 y −1 = 1(x −1) ，即 x − y = 0. 【评注】 本题属常规题型，综合考查了隐函数求导与求切线方程两个知识点，类似例 题见《数学复习指南》P.55 【例 2.13】和【例 2.14】. （3） x y = 2 的麦克劳林公式中 n x 项的系数是 ! (ln 2) n n . 【分析】 本题相当于先求 y=f(x)在点 x=0 处的 n 阶导数值 (0) (n) f ，则麦克劳林公式 中 n x 项的系数是 . ! (0) ( ) n f n 【详解】 因为 2 ln 2 x y  = ， 2 2 (ln 2) x y  = ， x x n , y 2 (ln 2) ( )  = ，于是有 n n y (0) (ln 2) ( ) = ，故麦克劳林公式中 n x 项的系数是 . ! (ln 2) ! (0) ( ) n n y n n =