D0I:10.13374/i.issn1001-053x.2001.03.026 第26卷第3期 北京科技大学学报 Vol.26 No.3 2004年6月 Journal of University of Science and Technology Beijing Jun.2004 随机-模糊线性回归模型的参数估计及应用 张志刚”王鹏”李安贵”蔡美峰)张红英》 1)北京科技大学应用科学学院，北京1000832)北京科技大学土木与环境工程学院，北京100083 3)山东省莒南石泉湖水库，山东276600 摘要导出了随机-模糊线性回归模型参数的估计量，证明了参数的估计量为无偏估计，同 时推导了参数估计量数字特征和回归方程相关系数的计算公式.将该模型应用于岩石样本 抗剪强度实验数据处理中，通过与传统的随机一元线性回归对比分析，表明使用该方法得到 的力学参数更具代表性， 关键词随机-模糊线性回归模型：参数估计：数字特征 分类号0159：0212.1：TU45 随机-模糊线性模型是描述既有随机不确定 需求J=∑R(Y)的极大值， 性，也有模糊不确定性的量之间关系的一类方 程，其应用较为广泛川.为简单记，仅讨论一元线 1a,B的模糊点估计 性情形，设随机-模糊一元线性回归模型为： 定理1设J=∑R(Y),则a,B的模糊点估计为 Y=a+bx+e 其中，x为可控变量：ε是误差项，为随机一模糊 2RY,x-xXY.-T） R(Y,)x,-x)2 变量，且设E(e)=O,D(e)=d.记Y对x的回归直线 方程为Y=a+x. a=卫。-m 设有n组样本值y对应于，飞， ∑R(Y,)x yh…y 其中，卫= ,= ∑R(Y) ∑RY) …,x的n个值h,h,…y,可看成Y,Y,…,Y,的 实验值.一般线性模型中，eN0,G),且&，和e,互 证明：求J=RY)=expl-(K-a-xr1w,对 不相关，Y~N(a+x,G),Y与Y,(i+j》也互不相关. 众，B的一阶偏导数，并令 给定论域U={YY=a+Bx,i=1,2,,n,而R 为U上的一个模糊集，它联系着一个模糊概念， ex-(Y.-a-pxYojxr.-8-Axx-0 隶属度R(Y)表示Y,隶属于该模糊概念的程度. 2-三exp-(化-a-Bx.o.l2x(y-a-axo,0 问题是如何根据实验值，求出Y对x的经验回 整理得 归直线方程了=a+x,且使得R(Y)最大.R的隶属 aER(Y.)+BER(Y.),=ER(Y.)Y. (1a) 函数可一般定义为R(Y)=-(Y,-立]，其中f可 导，且1imf八u)=1,limw)=0.特别地，定义RY)= aR(Y.)+BR(Y.)i=R(Y.)x.Y. (1b) exp[-(Y.-}ol,式中，w,为权重.考虑到数据匹 R(Y)Y. 由(1a)式有a= R(Y.) 2 配，一般可取o,=常数d一d而dm,d分别 2RY,) ∑R(Y,) 是d=(Y.-(=1,2,…,n)中最大、最小值.易 RY)Y 见，Y与，越接近，R(Y)的值就越接近于1，表明 记7。=4 无= 、,则有a-卫。-低. ∑R(Y) ΣR(Y Y隶属于该模糊概念的程度就越高.于是为使 再由(1b)式有 Y,Y,,Yn的总体水平隶属于R的程度较高，则 2=二Yx,Y-三R(Yx,三R(Yx-xY-了 收稿日期2003-09-12张志刚男，41岁，副教授 ∑R(Y)-xΣRYx ∑R(Yx,-xP +国家“十五”科技攻关计划课题(No.2001BA609A-08)第 2 6 卷 第 3 期 2 0 0 4 年 6 月 北 京 科 技 大 学 学 报 JO u r n a l o f U n i v e r si yt o f S e i e n c e a n d eT c h n o l o yg B e ij i n g 认) 1 . 2 6 N o . 3 J U n . 2 0 0 4 随机一模糊线性 回归模型 的参数估计及应用 张 志 刚 ` , 王 鹏 2 , 李安贵 ” 蔡 美峰 ” 张 红英 ” l) 北京 科技 大学 应 用科 学学 院 , 北 京 10 0 0 8 3 2 )北 京科技 大学 土 木与 环境 工 程学 院 , 北京 10 0 0 83 3 ) 山东 省营 南石 泉湖水 库 , 山 东 2 7 66 0 0 摘 要 导 出了随机一 模糊 线性 回归 模型 参数 的估 计量 , 证 明了参数 的估 计量 为无 偏估 计 , 同 时推 导了参 数估 计量 数字特 征和 回 归方程 相关 系数 的计 算公 式 . 将 该模 型应 用于 岩石 样本 抗 剪强度 实验 数据 处理 中 , 通 过与 传统 的随机 一 元 线性 回归 对 比 分析 , 表 明使 用该 方法 得到 的力学参 数 更具代 表性 . 关 键词 随机 一模糊 线性 回 归模 型 : 参数 估计 ; 数字 特征 分 类号 0 1 5 9 ; 0 2 12 . 1 ; T U 4 5 随机一 模糊 线性 模型 是 描述 既 有 随 机不 确 定 性 , 也 有模 糊 不 确定 性 的量之 间关 系 的 一类 方 程 , 其 应用 较 为广 泛川 . 为简单 记 , 仅讨 论 一元 线 性 情 形 . 设 随机 一 模 糊 一元 线性 回 归模 型 为 : Y 二 a + bx 枯 其 中 , x 为 可控 变量 ; 。 是 误差 项 , 为随 机 一 模 糊 变 量 , 且 设(E 日二 O , D (日= 护 . 记 Y对 x 的 回归直 线 方程 为 Y = a 明 x ) . 需求 J = 艺(R X ) 的极 大值 . l a, 刀的模 糊 点估 计 定理 1 设 J = 艺 (R艺 ) , 则 a 渭 的模 糊 点估 计为 { : 艺R ( X )(x `一瓦 )(艺一 又 ) R (艺) (x `一瓦) 2 = 凡 一床 。 设 有。 组 样 本 值 { x l ` 2 沙 l 少2 ` ” 尤· … , Y 对 应 于 x l , 从 , … , x 。 的 n 个 值 y ; , y Z , … , y’n , 可看 成 艺 , 其 , … , 凡 的 实验 值 一般 线性 模 型 中 , 。产刃《O , 厉) , 且 ￡` 和 局互 不相 关 , X ~ 目 N( a 刁 -xP , 耐) , X 与 耳i( 对) 也互 不 相关 . 给 定论 域 U = { X IX = a 十尽不,, i = l , 2 , … , n } , 而R 为 U 上 的一 个模 糊集 , 它联 系着 一 个 模糊 概 念 , 隶属度尽Z ) 表示 x 隶属 于 该模 糊 概念 的程 度 . 问题 是如 何根 据 实验值 , 求 出了对x 的经 验 回 归直线 方程 争一 a+xj , 且使 得(R 艺) 最 大 . R 的 隶属 函 数可 一 般 定 义 为娜艺) 一刀一 (艺一 全州 , 其 中f 可 导 , 且 h m f( u ) = 1 , h m f( u) = 0 . 特 别地 , “ ~ O “ ~ 十匡 定义 (R 艺卜 ~ ex p 卜 (艺一 玄) 2 。 月 , 式 中 , 。 为权 重 . 考虑 到数 据 匹 , , ` 。 _ ~ ~ 、 。 , 2 _ 、 _ , 配 , 一般 可 取 。 , 二 常 数 = 万 上丁- , 而dm a x , dm 二 ’ 认 ’ J 分 别 ~ 一 ` ’ ` J 纸 dm ax 一 dm l。 ” , u “ m a x ’ “ m m “ J jJ ,J 是 减一 ( x 一 戈)(z 卜 1 , 2 , … , 。 ) 中最大 、 最 小 值 . 易 见 , Z 与 X 越 接 近 , (R X ) 的值 就 越 接近 于 1 , 表 明 X 隶属 于 该 模 糊 概 念 的程 度 就 越 高 . 于 是 为使 鱿 , 姚 , … , 乙 的总体 水平 隶 属于 R 的程 度较 高 , 则 收稿 日期 2 0 03 刁9 一 12 张志 刚 男 , 41 岁 , 副教授 * 国家 “ 十五 ” 科技 攻关 计划课 题 ( N o Z O0l B A 6 09 A 一 0 8) 艺R ( X ) 艺 其 中 , 又 = 一 ,元 艺R (鱿) 艺R (艺)x 『= 1~ 艺R ( X ) 证 明 : 求 J 一 鲁少 , 一 誉xe p「一 (卜“ 一沁〕。 `对 a , 户的一阶 偏 导数 , 并令 刁J a a 一 全 e x P[ 一 ( x 一 a 一压矛。 2t] ( x 一 a 一压〕。 二 o 器 一 gex p卜`x 一 a 一沁 2。 月2x 您 一 “ 一彻 切 ,一0 整 理 得 a 艺R ( X )切艺R (艺X) = 艺R ( X )艺 户 1 、 J二 1 、 户 1~ a 艺R ( X )x 胡艺R ( 艺)对二 艺R (X )x X ( l a ) ( l b ) 艺R ( X ) X 由 ( l a ) 式 有友= 一 _ 户 1、 n 。 手尽X )x, 卢井卜一一 ~ 艺 R (鱿 ) 艺 R (艺) 记 乙 = 艺 R ( X ) Z 全天 ( x ) 艺 R (鱿x) 厂 l~ 全尺 ( x ) , 则有 a 一 又 一风 . 再 由 ( l b) 式有 艺R ( X )x X 一 又 艺R ( X )x 艺R ( X )(x , 一无 。 )(艺一 虱 ) _ 行 1 、 行 t 、 _ 厂 1~ 艺R (艺斌一无 。 艺R (X x) 艺R (鱿)x( 一无 。 ) 2 DOI: 10. 13374 /j . issn1001 -053x. 2004. 03. 026