第5章一阶语言的结构和真值理论 第1节一阶语言的结构 到现在为止我们都在讨论一阶逻辑的语法部分,所有的公式等等都可以被视为毫无 意义的字符串。现在我们开始讨论它们的“意义”。首先我们要解释语言中的每一个符号 的意义。粗略地说,这个解释是通过挑选“外部的”一个数学“结构”来完成的。结构挑 选的过程,也就是规定量词的范围,并指定谓词、函数、和常数符号意义的过程。 定义51.一个一阶语言的结构是一个定义域为语言中符号的函数,并且满足下列条件 1)%给量词符号指定一个非空集|a|,称作的论域 2)对每个n-元谓词符号P,都指定一个m-元关系PcwP;即P是由论域中 n-元组所组成的集合。 (3)对每个常数符号c,则都指定论域||中的一个元素c 14)对每个m-元函数符号f,都指定论域||上的一个n-元函数八; 即f:P→|。 注:选非空集作为论域是必要的,原因是我们在第??章中的有些公理对空集不适用 (哪一条呢?)。当然约定论域非空并无实质的损害,因为我们并不关心空集的性质。 例5.1.考察集合论的语言L={≈,∈},其中∈为一个二元谓词符号。尽管我们的初衷是 研究“真正的”集合论,但按照以上结构的定义,我们仍有很大的自由来挑选L的结构。 例如,令的论域||为全体自然数的集合N,符号∈在中的解释∈定义为“小于” 关系{(mn,m):m<灬}。下列冋题会帮助我们理解后面要谈到的真值理论。在上述解释下, 你怎样解读语句彐vyy∈x还有 vrvy3zvt(t∈z→(t≈rt≈y)? 1论域, universe,.也被译作“宇宙第 5 章 一阶语言的结构和真值理论 第 1 节 一阶语言的结构 到现在为止我们都在讨论一阶逻辑的语法部分，所有的公式等等都可以被视为毫无 意义的字符串。现在我们开始讨论它们的“意义”。首先我们要解释语言中的每一个符号 的意义。粗略地说，这个解释是通过挑选“外部的”一个数学“结构”来完成的。结构挑 选的过程，也就是规定量词的范围，并指定谓词、函数、和常数符号意义的过程。 定义 5.1. 一个一阶语言的结构 A 是一个定义域为语言中符号的函数，并且满足下列条件： (1) A 给量词符号 ∀ 指定一个非空集 | A |，称作 A 的论域 1 。 (2) 对每个 n-元谓词符号 P，A 都指定一个 n-元关系 P A ⊆| A | n；即 P A 是由论域中 n-元组所组成的集合。 (3) 对每个常数符号 c，A 都指定论域 | A | 中的一个元素 c A。 (4) 对每个 n-元函数符号 f，A 都指定论域 | A | 上的一个 n-元函数 f A； 即 f A :| A | n→| A |。 注：选非空集作为论域是必要的，原因是我们在第?? 章中的有些公理对空集不适用 （哪一条呢？）。当然约定论域非空并无实质的损害，因为我们并不关心空集的性质。 例 5.1. 考察集合论的语言 L = {≈,∈}，其中 ∈ 为一个二元谓词符号。尽管我们的初衷是 研究“真正的”集合论，但按照以上结构的定义，我们仍有很大的自由来挑选 L 的结构。 例如，令 A 的论域 | A | 为全体自然数的集合 N，符号 ∈ 在 A 中的解释 ∈ A 定义为“小于” 关系 {(m, n) : m < n}。下列问题会帮助我们理解后面要谈到的真值理论。在上述解释下， 你怎样解读语句 ∃x∀y¬y ∈ x 还有 ∀x∀y∃z∀t(t ∈ z → (t ≈ x ∨ t ≈ y))? 1论域，universe，也被译作“宇宙”。 1