解(1)S(x)= lim S,((x)=0,令Sn(x)=ne(1-mx)=0,得到x=-,即 supS, (x)-S(x)=S,() 所以lmd(Sn,S)=0当且仅当a<l时成立,所以当a<1时,{S(x)}在 上一致收敛 Slim Sm(x)dx=5S()ax=0, 5'S,(x)dx=no2-n-(+)e-m 所以当且仅当α<2时,成立 lim [s, (x)dx=[ lim Sn(x)dx (3) lim Sn(x) S(x)=0,、d -S(x)=ne(1-nx) dxn→∞ x dx 由于 lim e (1-nx)= 0x∈(0 所以当且仅当α<0时, lim.Sn(x=,lim Sn(r) d 对一切x∈[0,1成立。 6.设S'(x)在区间(a,b)上连续, S(x) 证明:{SA(x)}在(ab)上内闭一致收敛于S(x) 解显然lmS(x)=S(x),所以只须证明Vn>0,Sn(x)}在[a+n,b- 上一致收敛于S(x)。 取0<a<η,则S(x)在口+a,b-ad]上一致连续,即 vE>0,38>0,Vx,x∈+ab-a],只要x-x<,就成立 S(r)-S'(r"< 取N 6 则当n>N且x∈[口+nb-n]时,有 +a b解 (1) S(x) = S n→∞ lim n(x) = 0，令Sn ' (x) = nα e−nx (1− nx) = 0，得到 n x 1 = ，即 = − = ∈ ( , ) sup ( ) ( ) [0,1] d S S S x S x n x n 1 1 ) 1 ( − − = n e n Sn α ， 所以 lim ( , ) = 0 →∞ d S S n n 当且仅当α <1时成立，所以当α <1时，{Sn(x)}在[0,1] 上一致收敛。 (2) S ∫ →∞ 1 0 limn n(x)dx = ∫ = ， 1 0 S(x)dx 0 ∫ = 1 0 S (x)dx n n e n n n − − − − + ) 1 (1 α 2 α 1 ， 所以当且仅当α < 2时，成立. n→∞ lim ∫ 1 0 S (x) n dx = S ∫ →∞ 1 0 limn n(x) dx。 (3) d x d n→∞ lim Sn(x) d x d = S(x) = 0， d x d Sn(x) = nα e−nx (1− nx)， 由于 lim e (1 nx) nx n − − →∞ ⎩ ⎨ ⎧ = ∈ = 1 0 0 (0,1] x x ， 所以当且仅当α < 0时， n→∞ lim d x d Sn(x)= d x d n→∞ lim Sn(x) 对一切 x∈[0,1]成立。 6. 设 S '(x)在区间(a,b)上连续， Sn(x) = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ( ) 1 S x n n S x ， 证明：{Sn(x)}在(a,b)上内闭一致收敛于S '(x)。 解 显然 S n→∞ lim n(x) = S'(x) ，所以只须证明 ∀η > 0 , {Sn (x)}在[ ] a +η,b −η 上一致收敛于S'(x)。 取0 < α < η , 则S'(x)在[a +α,b −α]上一致连续, 即 ∀ε > 0, ∃δ > 0 , ∀x', x"∈ [a +α,b −α], 只要 x'−x" < δ , 就成立 S'(x') − S'(x") < ε 。 取 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = δ η α 1 , 1 N max , 则当n > N 且 x∈ [a +η,b −η]时，有 + ∈ n x 1 [a +α,b −α], 7