第四章 Hilbert空间的几何学 在第一章中我们已介绍了内积空间的公理系统并给出过内积空间 的例子.内积空间是一种特殊的线性赋范空间,因此对于一般赋范空 间成立的那些结论对于内积空间也是适用的.但由于内积空间具有 “内积”这种结构,使得它有着比一般赋范空间更为特殊的性质.本章 将叙述这些特殊性质:正交基的存在性、正交投影以及空间上线性泛 函和算子的特殊表现形式. Hil ber t空间的理论已广泛地应用于许多 学科和学科分支中去,例如在量子力学,概率论, Fourier分析 调和分析等学科中就是如此,近年来蓬勃发展的小波分析理论也是置 根于 Hilber t空间基本理论的 第19讲Hi1bert空间的正交基 教学目的:掌握由内积结构导致的Hi1bert空间的特殊性 讲解要点 1、正交集合的基本属性,Be88e1不等式 2、 Hilbert空间中元素的 Fourier展开 3、正交基底 4、可分H1bert空间与P2等距同构 定义1设H是内积空间,(,)是其中的内积 (1)若x,y∈H,(x,y)=0,则称x与y正交,记为x⊥y.若 M,NcH并且x∈M,y∈N,(x,y)=0,则称M与N正交,记为 M⊥N.当M={x时记为x⊥N (2)称EcH为正交集,若任意x,y∈E,x≠y,则x⊥y.若1 第四章 Hilbert 空间的几何学 在第一章中我们已介绍了内积空间的公理系统并给出过内积空间 的例子.内积空间是一种特殊的线性赋范空间， 因此对于一般赋范空 间成立的那些结论对于内积空间也是适用的. 但由于内积空间具有 “内积”这种结构，使得它有着比一般赋范空间更为特殊的性质 .本章 将叙述这些特殊性质：正交基的存在性、正交投影以及空间上线性泛 函和算子的特殊表现形式.Hilbert 空间的理论已广泛地应用于许多 学科和学科分支中去，例如在量子力学，概率论， Fourier 分析， 调和分析等学科中就是如此.近年来蓬勃发展的小波分析理论也是置 根于 Hilbert 空间基本理论的. 第 19 讲 Hilbert 空间的正交基 教学目的：掌握由内积结构导致的 Hilbert 空间的特殊性 质。 讲解要点： 1、正交集合的基本属性，Bessel 不等式。 2、Hilbert 空间中元素的 Fourier 展开。 3、正交基底。 4、可分 Hilbert 空间与 2 l 等距同构。 定义 1 设 H 是内积空间， (,) ⋅ ⋅ 是其中的内积. (1) 若 xy H xy , , ( , ) 0, ∈ = 则 称 x 与 y 正 交 , 记 为 x ⊥ y . 若 M , N ⊂ H 并且 ∀x ∈ M , y ∈ N , ( , ) 0, x y = 则称 M 与 N 正交, 记为 M ⊥ N . 当 M = {x}时记为 x ⊥ N , . (2) 称 E ⊂ H 为正交集, 若任意 x, y ∈ E, x ≠ y, 则 x ⊥ y . 若