(1)A是正交变换 (2)A把V的标准正交基变为标准正交基 (3)A在标准正交基下的矩阵为正交矩阵; (4)对任意a∈V,AaH=a 证明(1)→(2):设E,E2,En是V的一组标准正交基,则由正交变换的定义 A1|=√Ac1,Ac1)=√(1,)=1 )=(E;,E;)=0(i≠j 于是,AE1,AE2,…,AEn是V的标准正交基 (2)→(3):A在E,E2…,En下的矩阵A恰是E,E2,…,En到AE1,AE2 的过渡矩阵,从而A是正交矩阵 (3)→(4):设A在标准正交基E,E2…,5n下的矩阵为A设a=∑a6;,则 Aa,Aa)=(i,62…,En)A:|,(s,E2……,En):|) (a1…an)4A ):|=(a,a) 开方即得|AaHa (4)→(1):如果A保持向量长度不变,则(Aa,Aa)=(a,a),(AB,AB)=(B,B) (A(a+B),A(a+B)=(a+B,a+B),展开 (Aa, Aa)+2(Aa, A B)+(AB,AB)=(a, a)+2(a, B)+(B,B) 利用前两个式子,得(Aa,AB)=(a,B) 证明显然E∈O(m);如果AB∈O(n),则(ABa,ABB)=(Ba,BB)=(a,B),故 AB∈O(n);若A∈O(m),则显然可逆,于是 (a,B)=(Ea,EB)=(A(aa),a(a B)=b)=(aa,a B) 从而A-∈O(m).于是O(m)构成群 由于正交矩阵的行列式只可能为1或-1,我们以此对正交变换进行分类:如果正交变换A(1) A 是正交变换; (2) A 把 V 的标准正交基变为标准正交基; (3) A 在标准正交基下的矩阵为正交矩阵; (4) 对任意  V ,|A  |=| |. 证明 (1)  (2):设 1 2 n  ， ，， 是 V 的一组标准正交基,则由正交变换的定义: |A i  |= (A ,A ) i i   = ( , ) i i   =1 (A i  A j  )=( i  , j  )=0 (i  j) 于是, A 1  , A , ,  2  A n  是 V 的标准正交基. (2)  (3): A 在 1 2 n  ， ，， 下的矩阵 A 恰是 1 2 n  ， ，， 到 A 1  , A , ,  2  A n  的过渡矩阵,从而 A 是正交矩阵. (3)  (4):设 A 在标准正交基 1 2 n  ， ，， 下的矩阵为 A,设  == n i ai i 1  ,则 (A  , A  )=(( 1 2 n  ， ，， )A           n a a  1 ,( 1 2 n  ， ，， )A           n a a  1 ) =                      an a A  1                     an a A  1 = (a1  an )AA           n a a  1 = ( ) a1  an           n a a  1 = (,) 开方即得|A  |=| |. (4)  (1):如果 A 保持向量长度不变,则(A , A  )= (,) ,(A  ,A  )= (,  ) (A(  +  ),A(  +  ))=(  +  , +  ),展开: (A , A  )+2(A , A  ) +(A  ,A  )= (,) +2 (,  ) + (,  ) 利用前两个式子,得(A , A  ) = (,  ) . 证明 显然 E O(n) ;如果 A,B O(n) ,则(AB , AB  )=(B  ,B  )= (,  ) ,故 AB O(n) ;若 A O(n) ,则显然可逆,于是 ( , ) (   = E , E  ) ( = A ( A 1), − A ( A 1 )) − =  ) ( = A 1, − A 1 ) − , 从而 A −1 O(n) .于是 O (n) 构成群. 由于正交矩阵的行列式只可能为 1 或-1,我们以此对正交变换进行分类:如果正交变换 A