定义1设a,b是任意两个整数,其中b≠0。如果存在一个 整数q使得等式a=bq成立,就称b整除a或者a被b整除, 记作ba,并把b叫做a的因数,把a叫做b的倍数。否则, 就称b不能整除a或者a不能被b整除,记作ba 由定义可知,0是任何非零整数的倍数;1是任何整数的因 数;任何非零整数既是其自身的因数,又是其自身的倍数 由定义1及乘法运算的性质,立即可以得到整除关系具有下 面性质 性质1(i)a|b分-a|b冷a|-bal‖b; (ⅱ)c|b,且ba→cla; (ii)c|a,且c|b分对任意的整数s,t有c|ax+by; (i)ba且a|b→a=±b; (v)设c≠0,则ba冷→bcac; (ⅵ)若a≠0,则ba→b图a (ⅶi)若b≠0,且{d,d2…d}是b的全体因数,则 b/dl,b/d2…b/d}也是b的全体因数。 例1证明:若3n,5|n,那么15|no 例2设a,b是两个非零整数,且存在整数s,t,使得 sa+tb=1。证明 (1)若ma,m|b,则有m=±1 (2)若an,b|n,则有ab|n定义 1 设 a,b 是任意两个整数，其中 b  0。 如果存在一个 整数 q 使得等式 a = bq 成立，就称 b 整除 a 或者 a 被 b 整除， 记作 b | a ，并把 b 叫做 a 的因数，把 a 叫做 b 的倍数。否则， 就称 b 不能整除 a 或者 a 不能被 b 整除，记作 b | a。 由定义可知，0 是任何非零整数的倍数；1 是任何整数的因 数；任何非零整数既是其自身的因数，又是其自身的倍数。 由定义 1 及乘法运算的性质，立即可以得到整除关系具有下 面性质 性质 1 （ⅰ） a | b  −a | b  a | −b | a ||| b | ； （ⅱ） c | b,且b | a  c | a ； （ⅲ） c | a,且c | b  对任意的整数s,t有c | ax + by ； （ⅳ） b | a且a | b  a = b ； （ⅴ）设 c  0 ，则 b | a  bc | ac ； （ⅵ）若 a  0 ，则 b | a | b || a |。 （ⅶ）若 b  0 ， 且 { , , , } d1 d2  dk 是 b 的全体因数，则 { / , / , , / } b d1 b d2  b dk 也是 b 的全体因数。 例 1 证明：若 3| n，5 | n ，那么 15 | n 。； 例 2 设 a,b 是 两 个非 零 整 数 ， 且存 在 整 数 s,t ， 使得 sa + tb =1 。证明 （1）若 m | a,m | b ，则有 m = 1 ； （2）若 a | n,b | n ，则有 ab | n