时,a或b就是方程f(x)=x在[a,b]上的实根.以下总设f(a)>a,f(b)<b 对分区间[a,b],设分 点为C.倘有J(c)=C,c就是方程J(x)=x在[a,b]上的实根.(为行文简练 计,以下总设不会 出现这种情况).若J()>C,取a1=C,h=b;若J(c)<C,取 a1=a,h1=C,如此得一级区间 [a2,句1].依此构造区间套{[ax]),对Vn,有(an)>a2,f(ba)<bn 由区间套定理,x,使对 任何n,有0∈[a,b2] 现证f(x)=x 事实上,注意到x→时a,x和、以及J递增,就有 ax<f(a2)≤f(x0)≤f(b)<b2 令n→,得5f(x0)≤x0,于是有f(x0)= 例2设在闭区间[a,b]上函数f(x)连续,8(x x)递增,且有 f(a)<gla) f()>g().试证明:方程f(x)=g(x)在区间(a,b)内有实根 构造区间套{a,bn]),使f(a)<g(an),J(b)>g().由区间套 定理,35,使对Vn, 有5∈[a,a].现证∫(2)=g(5).事实上,由g(x)在[a,b]上的递增性和 a2,bn]的构造以及a 有 Jf(an)<g(an)≤g()≤g(bn)<f(bn) 注意到J(x)在点占连续,由 Heine归并原则,有时, 或 就是方程 在 上的实根 . 以下总设 . 对分区间 , 设分 点为 . 倘有 , 就是方程 在 上的实根.(为行文简练 计, 以下总设不会 出 现 这 种 情 况 ) . 若 , 取 ; 若 , 取 , 如此得一级区间 . 依此构造区间套 , 对 ,有 . 由区间套定理, , 使对 任何 ,有 . 现证 . 事实上, 注意到 时 ↗ 和 ↘ 以及 递增,就有 . 令 , 得 于是有 . 例 2 设在闭区间 上函数 连续, 递增 , 且有 , . 试证明: 方程 在区间 内有实根 . 证 构造区间套 ,使 .由区间套 定理, , 使对 , 有 . 现证 . 事实上, 由 在 上的递增性和 的构造以及 ↗ 和 ↘ ,, 有 . 注意到 在点 连续，由 Heine 归并原则, 有