19世纪,经典力学的发展表现为科学家用新的、更简洁的形式重新表述牛顿定律,如 拉格朗日方程组、哈密顿方程组等。这些表述形式不一,实质并没有改变。这是19世纪牛 顿力学发展的一个方面。另一方面,就是将牛顿定律推广到连续介质的力学问题中去,出现 了弹性力学、流体力学等。在这一方面,20世纪有更大的发展,特别是流体力学,最终导 致航空甚至航天的出现。因此,牛顿定律到现在还是非常重要的,牛顿定律还是大学课程中 不可缺少的一个组成部分。当然,其表达方法应随时代发展而有所不同 牛顿关于力学研究的成果,写在一本叫《自然哲学的数学原理》(简称《原理》)的巨著 中。只要稍微翻一下这本书,就会发现它非常难懂。牛顿的一个重要贡献是从万有引力定律 和运动定律把行星运动的轨道推导了出来。现在在学习理论力学时,行星运动的椭圆轨道问 题是不太难的,解微分方程就可以求出来。但牛顿在《原理》里没有用微积分,更没有用解 微分方程的方法,而纯粹是用几何方法把椭圆轨道推出来的。 现代科学家就不一定能看懂他这一套东西。理论物理学家费恩曼曾说他对现代数学比牛 顿强得多,但对17世纪牛顿熟悉的几何学他就不一定能全部掌握。他花了好些时间,想用 牛顿的思路把行星的椭圆轨道全部证明出来,结果还是有些环节证不出来。最后他不得已调 整了方法。虽然没有完全依照牛顿的方法,但基本上还是用几何方法把这个问题证明出来了 科学理论的表达是随时间变化的。现在看来,牛顿运动定律的关键问题,譬如行星运动 是椭圆轨道,应有可能在普通物理中讲授,因为简单的微分方程已经可以用计算机求解了 由于计算机的发展,也许今后讲牛顿定律时,就可以在课堂上把行星运动椭圆轨道的一些基 本概念说清楚了。这也可以说明,教学问题与现代科技是息息相关的 不可积问题 牛顿定律取得了很大的成功,它具有完全确定的规律性。但它和拉普拉斯的确定论究竟 是什么关系?这值得探讨 另一个值得一提的,是所谓的三体问题。一体问题最简单,一个物体在固定的中心力场 中运动。两体问题也不复杂,就是两个互相吸引的物体的运动问题,结果是两个物体都绕质 心运动,大质量物体的轨道小一些,小质量物体的轨道大一些。如果再加一个物体,即三个 物体之间存在着吸引力,它们的运动规律就是天体力学上很有名的三体问题。天体力学上的 轨道计算就涉及到三体问题,这通常是通过微扰论来解决,即把第三个物体的影响当作微扰 来处理。譬如,地球与太阳是两体问题,加上月亮就构成了三体问题。月亮对地球轨道也有 影响,但这个影响很小,这就可以用微扰的方法来处理。当三个物体都不能当作微扰来对待 时,就是三体问题了 在19世纪,三体问题是天体力学的一个非常引人注目的问题。为解决太阳系的稳定性 问题,当时的挪威国王曾设立一笔奖金。这笔奖金最后颁给了法国著名的数学家庞加莱。庞 加莱证明了三体问题是不可解的,或更确切地说是不可积分的。有解的运动方程,其位置与 时间的关系最终总可以表达为一个积分,在最理想的情况下,这个积分是积得出来的,即使 积不出来也至少能表达为定积分。这就是物理学常见的可积问题 在大学物理课程中讲授的几乎都限于可积问题,诸如行星的运动和单摆系统中摆的运动 等。这类可积问题的规律是确定的,计算出的轨道也是确定无疑的,知道了初条件,以后的 所有情况都能一一推出来。 如果问题不是可积的,像庞加莱证明的三体问题,情况就完全不同了,就会出现所谓“对 初始条件的敏感性”。如果是可积问题,初始条件作微量调整,最终轨道也只要作微量修正 就行了:如果是不可积问题,初始条件的微小变动就会导致轨道完全不一样。中国有句古话 “差之毫厘,失之千里”,说的就是存在一些对初始条件敏感的情况19 世纪，经典力学的发展表现为科学家用新的、更简洁的形式重新表述牛顿定律，如 拉格朗日方程组、哈密顿方程组等。这些表述形式不一，实质并没有改变。这是 19 世纪牛 顿力学发展的一个方面。另一方面，就是将牛顿定律推广到连续介质的力学问题中去，出现 了弹性力学、流体力学等。在这一方面，20 世纪有更大的发展，特别是流体力学，最终导 致航空甚至航天的出现。因此，牛顿定律到现在还是非常重要的，牛顿定律还是大学课程中 不可缺少的一个组成部分。当然，其表达方法应随时代发展而有所不同。 牛顿关于力学研究的成果，写在一本叫《自然哲学的数学原理》（简称《原理》）的巨著 中。只要稍微翻一下这本书，就会发现它非常难懂。牛顿的一个重要贡献是从万有引力定律 和运动定律把行星运动的轨道推导了出来。现在在学习理论力学时，行星运动的椭圆轨道问 题是不太难的，解微分方程就可以求出来。但牛顿在《原理》里没有用微积分，更没有用解 微分方程的方法，而纯粹是用几何方法把椭圆轨道推出来的。 现代科学家就不一定能看懂他这一套东西。理论物理学家费恩曼曾说他对现代数学比牛 顿强得多，但对 17 世纪牛顿熟悉的几何学他就不一定能全部掌握。他花了好些时间，想用 牛顿的思路把行星的椭圆轨道全部证明出来，结果还是有些环节证不出来。最后他不得已调 整了方法。虽然没有完全依照牛顿的方法，但基本上还是用几何方法把这个问题证明出来了。 科学理论的表达是随时间变化的。现在看来，牛顿运动定律的关键问题，譬如行星运动 是椭圆轨道，应有可能在普通物理中讲授，因为简单的微分方程已经可以用计算机求解了。 由于计算机的发展，也许今后讲牛顿定律时，就可以在课堂上把行星运动椭圆轨道的一些基 本概念说清楚了。这也可以说明，教学问题与现代科技是息息相关的。 不可积问题 牛顿定律取得了很大的成功，它具有完全确定的规律性。但它和拉普拉斯的确定论究竟 是什么关系？这值得探讨。 另一个值得一提的，是所谓的三体问题。一体问题最简单，一个物体在固定的中心力场 中运动。两体问题也不复杂，就是两个互相吸引的物体的运动问题，结果是两个物体都绕质 心运动，大质量物体的轨道小一些，小质量物体的轨道大一些。如果再加一个物体，即三个 物体之间存在着吸引力，它们的运动规律就是天体力学上很有名的三体问题。天体力学上的 轨道计算就涉及到三体问题，这通常是通过微扰论来解决，即把第三个物体的影响当作微扰 来处理。譬如，地球与太阳是两体问题，加上月亮就构成了三体问题。月亮对地球轨道也有 影响，但这个影响很小，这就可以用微扰的方法来处理。当三个物体都不能当作微扰来对待 时，就是三体问题了。 在 19 世纪，三体问题是天体力学的一个非常引人注目的问题。为解决太阳系的稳定性 问题，当时的挪威国王曾设立一笔奖金。这笔奖金最后颁给了法国著名的数学家庞加莱。庞 加莱证明了三体问题是不可解的，或更确切地说是不可积分的。有解的运动方程，其位置与 时间的关系最终总可以表达为一个积分，在最理想的情况下，这个积分是积得出来的，即使 积不出来也至少能表达为定积分。这就是物理学常见的可积问题。 在大学物理课程中讲授的几乎都限于可积问题，诸如行星的运动和单摆系统中摆的运动 等。这类可积问题的规律是确定的，计算出的轨道也是确定无疑的，知道了初条件，以后的 所有情况都能一一推出来。 如果问题不是可积的，像庞加莱证明的三体问题，情况就完全不同了，就会出现所谓“对 初始条件的敏感性”。如果是可积问题，初始条件作微量调整，最终轨道也只要作微量修正 就行了；如果是不可积问题，初始条件的微小变动就会导致轨道完全不一样。中国有句古话 ——“差之毫厘，失之千里”，说的就是存在一些对初始条件敏感的情况