(12)令x=tant,d=sec2tdl,当x=0时，t=0:当x=1时，t= ，则 可--a-0w2a-6f-行- ()[arctan(e)aretane (14)令x=sec1,k=sec1tan1d,当x=1时，1=0：当x=2时，1=T,则 3 -黑xem--e-t-a--5-号 3.利用函数的奇偶性计算下列定积分： (1)sinxdx: (2)4cosdx 8月 (4) sin'x d J-5x4+2x2+1 解： (1)因为sinx为奇函数，所以xsinxdx=0: 2)且4cos0ur=4-2后4eos0ux=83x1g=3n 4×222 √-x2 (4)因为+2x+1 为sinx为奇函数，所以加xdk=0. 4.证明下列各题： (1)a-x)=x1-x: 2)sm”d=2snd: （3)c=x达，英中/a为连续属数： (4)0a山--et,其中a0为连续函数。 证：(1)令x=1-1,则dr=-d1,当x=0时，1=1；当x=1时，t=0,于是有 Sx"(-xdx="(-t)"r(-dr)=fr"Q-t)"dr=fx"(-x)"dx (2)sin"d sin"sin" 而了 six过氢=4snra-小dr-小-月smi=原m'h8 （12）令 x t  tan ， 2 dx tdt  sec ，当 x  0 时， t  0 ；当 x 1 时， 4 t   ，则     2 2 1 4 4 4 4 2 2 2 4 0 0 0 0 2 0 tan 1 1 d sec sin 1 cos 2 sin 2 sec 2 2 4 1 x t t x tdt tdt x dt t t x                        1 ( 1) 4 2   ； （13）     1 1 1 2 0 0 0 1 1 d d arctan arctan 1 4 x x x x x x e e e e e e               ； （14）令 x t  sec ， dx t tdt  sec tan ，当 x 1 时， t  0 ；当 x  2 时， 3 t   ，则   2 2 3 3 3 2 2 3 0 1 0 0 0 1 tan d sec tan d tan d (sec 1)d tan sec x t x t t t t t t t t t x t                  3 3   ． 3．利用函数的奇偶性计算下列定积分： （1） 8 x x x sin d   ； （2） 2 4 2 4cos dx      ； （3） 1 2 2 1 2 2 (arcsin ) d 1 x x x    ； （4） 3 2 5 4 2 5 sin 2 1 x x dx x x     ． 解： （1）因为 8 x x sin 为奇函数，所以 8 x x x sin d 0     ； （2） 2 2 4 4 0 2 3 1 3 4cos d 4 2 4cos d 8 4 2 2 2 x x                   ； （3） 1 2 2 1 1 1 2 2 3 2 2 2 1 2 2 0 0 0 2 (arcsin ) (arcsin ) 2 d 2 d 2 (arcsin ) d(arcsin ) (arcsin ) 1 1 3 x x x x x x x x x               3 324  ； （4）因为 3 2 4 2 sin 2 1 x x x x   为奇函数，所以 3 2 5 4 2 5 sin 0 2 1 x x dx x x      ． 4．证明下列各题： （1）      1 0 1 0 x (1 x) dx x (1 x) dx m n n m ； （2）    2 0 0 sin d 2 sin d   x x x x n n ； （3） 2 3 2 0 0 1 ( )d ( )d 2 a a x f x x xf x x    ，其中 f u( ) 为连续函数； （4）            1 0 1 0 0 f (t)dt dx (1 x) f (x)dx x ，其中 f u( ) 为连续函数． 证：（1）令 x t  1 ，则 dx dt   ，当 x  0 时， t 1 ；当 x 1 时， t  0 ，于是有   1 0 1 1 0 1 0 0 (1 ) d (1 ) d (1 ) d (1 ) d m n m n n m n m x x x t t t t t t x x x             （2） 2 0 0 2 sin d sin d sin d n n n x x x x x x          而 2 sin d n x x   令x t        0 2 2 0 0 2 sin sin sin n n n t d t tdt xdx            