第二学期第十四次课 第八章有理整数环 §1有理整数环的基本概念 811有理整数环的基本概念 全体整数所组成的集合中有两种运算:加法和乘法,而且它们满足下面运算法则: 1)加法满足结合律 2)加法满足加换律 3)有一个数0,是对任意整数a,0+a=a 4)对任意整数a,存在整数b,使b+a=0: 5)乘法满足结合律 6)有一个数1,是对任意整数a,l·a=a 7)加法与乘法满足分配律:a(b+c)=ab+ac 8)乘法满足加换律 9)无零因子:如果a≠0,b≠0,则amb≠0。 我们把满足上述九条运算性质的代数系统称为有理整数环,并用Z代表它。 “整除”、“互素”、“倍数”、“因数”、“最大公因数”、“最小公倍数”等概念在小学和 中学已介绍,在这里就不再赘述 现在,我们从抽象的角度对“环”这一代数对象作一概述 设R是一个非空集合。如果在R的元素之间定义了一种运算,称做加法,即对R中任 意两元素a,b,都按某法则∫对应于R内的一个唯一确定的元素,记作a+b,且满足如下 运算法则: (i)结合律:a+(b+c)=(a+b)+c (i)R中有一元素0,是对一切a∈R有a+0=a; (i)对R中任一元素a,有b∈R使a+b=0 (ⅳ)交换律:a+b=b+a 又设R内另有一种运算称作乘法,即对R中任意两个元素a,b,都按某个法则g对应 于R内一个唯一确定的元素,记作ab,且满足如下运算法则: (v)结合律:a(bc)=(ab) (vi)加法与乘法有两方面的分配律:第二学期第十四次课 第八章 有理整数环 §1 有理整数环的基本概念 8.1.1 有理整数环的基本概念 全体整数所组成的集合中有两种运算：加法和乘法，而且它们满足下面运算法则： 1） 加法满足结合律； 2） 加法满足加换律； 3） 有一个数 0，是对任意整数 a ，0+ = a a ； 4） 对任意整数 a ，存在整数 b ，使 b a + = 0 ； 5） 乘法满足结合律； 6） 有一个数 1，是对任意整数 a ，1• = a a 7） 加法与乘法满足分配律： a b c ab ac ( ) + = + ； 8） 乘法满足加换律； 9） 无零因子：如果 a b   0, 0 ，则 ab  0。 我们把满足上述九条运算性质的代数系统称为有理整数环，并用 Z 代表它。 “整除”、“互素”、“倍数”、“因数”、“最大公因数”、“最小公倍数”等概念在小学和 中学已介绍，在这里就不再赘述。 现在，我们从抽象的角度对“环”这一代数对象作一概述。 设 R 是一个非空集合。如果在 R 的元素之间定义了一种运算，称做加法，即对 R 中任 意两元素 a b, ，都按某法则 f 对应于 R 内的一个唯一确定的元素，记作 a b + ，且满足如下 运算法则： （i） 结合律： a b c a b c + + = + + ( ) ( ) ； （ii） R 中有一元素 0，是对一切 a R a a  + = 有 0 ； （iii） 对 R 中任一元素 a ，有 b R a b  + = 使 0 ； （iv） 交换律： a b b a + = + 。 又设 R 内另有一种运算称作乘法，即对 R 中任意两个元素 a b, ，都按某个法则 g 对应 于 R 内一个唯一确定的元素，记作 ab ，且满足如下运算法则： （v） 结合律： a bc ab c ( ) ( ) = ； （vi） 加法与乘法有两方面的分配律：