高维微分学—隐映照定理的应用(曲线与曲面的隐式表 谢锡麟 相应地,也可以确定法向量m(x)∈Rm,满足 ∫⑦xr(m1(xn-1(1)10c2m 应用事例 2.1曲线的隐式表示 事例1(R3中曲线(隐式表示形式)).R3中的曲线可以表示为 f(x,y,z)=0∈R ∈R g(x,y,z)=0∈R 设有m∈r,亦即{f(0)=0 9(0,0,0)=0·且有(f,g) O(x,2)(20,30)≠0,则可构造 F f(c, y, z) g(, y, z) 满足 f(xo,30,0) 0∈ g(ao af af DIrt dz oag(a0,,x)∈R2x2非奇异 则有3B(c2(2)<2,对∈BD=0()满足 Fy,2(y) f(a(y), 3, a(y)) =0∈R2 g(a(y), 3, i(y)) 亦即有 ∈,所以曲线可以用向量值映照表示为 T(: B(yo)3yHry 述分析的几何化可以表示为微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学—— 隐映照定理的应用（曲线与曲面的隐式表示） 谢锡麟 相应地, 也可以确定法向量 n(x) ∈ R m, 满足    (DΣ) T(x˜)n(x) = ( Im−1 (Dϕ) T(x˜) ) n(x) = 0 ∈ R m−1 , |n(x)|Rm = 1. 2 应用事例 2.1 曲线的隐式表示 事例 1 (R 3 中曲线（隐式表示形式）). R 3 中的曲线可以表示为 Γ =        x y z     ∈ R 3         { f(x, y, z) = 0 ∈ R g(x, y, z) = 0 ∈ R    设有     x0 y0 z0     ∈ Γ，亦即 { f(x0, y0, z0) = 0 g(x0, y0, z0) = 0 ，且有 ∂(f, g) ∂(x, z) (x0, y0, z0) ̸= 0，则可构造 F ( y, [ x z ]) = [ f(x, y, z) g(x, y, z) ] ∈ R 2 满足    F ( y0, [ x0 z0 ]) =   f(x0, y0, z0) g(x0, y0, z0)   = 0 ∈ R 2 D[ x z ] F ( y0, [ x0 z0 ]) =    ∂f ∂x ∂f ∂z ∂g ∂x ∂g ∂z    (x0, y0, z0) ∈ R 2×2 非奇异 则有 ∃ Bλ(y0) ⊂ R, ∃ Bµ ([x0 z0 ]) ⊂ R 2，对 ∀y ∈ Bλ(y0), ∃ ξ(y) = [ x(y) z(y) ] ∈ Bµ ([x0 z0 ]) 满足 F ( y, [ x(y) z(y) ]) = [ f(x(y), y, z(y)) g(x(y), y, z(y)) ] = 0 ∈ R 2 亦即有     x(y) y z(y)     ∈ Γ，所以曲线可以用向量值映照表示为 Γ(y) : Bλ(y0) ∋ y 7→ Γ(y) =     x(y) y z(y)     ∈ R 3 上述分析的几何化可以表示为 4