§44复数级数 第四讲(二)无穷级数 无穷级数,特别是幂级数,是解析函数的最重要的表达形式之 许多初等函数和特殊函数都是用幂级数定义的 复变函数级数理论和实变函数的比较:概念和方法的异同 84.4复数级数 定义复数级数 u0+u1+u2+…+un+ 令n的实部和虚部分别为an与Bn,则 个复数级数∑tn完全等价于两个实数级数∑an和∑An,反之亦然 复数级数的收敛和发散如果级数的部分和 S +u1+u2 所构成的序列{Sn}收敛,则称级数∑un收敛,序列{Sn}的极限S= lim s2,称为级数∑un 的和 un= lim S 否则,级数∑un是发散的 级数的收敛性,是用它的部分和序列的收敛性定义的.因此,根据序列收敛的充要条件,可 以写岀级数收敛的充要条件- Cauchy充要条件:任意给定ε>0,存在正整数π,使对于任意 正整数p,有 un+1+un+2+…+un+pl<E 特别是,令p=1,就得到级数收敛的必要条件 lim ★在不改变求和次序的前提下,可以将收敛级数并项 u1+u2+3+u4+ (u1+a2)+(ua+u4)+Wu Chong-shi §4.4 ◆ ❖ P ❖ ✟ 6 ✠ ✡ ☛☞ (◗) ❘ ❙ ❚ ❯ ❱❲❳ö✰❨❩î❬❳ö✰ îóôõöò❭❪❫ò❴❵❛❜❝❞❄ ❡ ❢❣❤õö✽ ❨✐õö❥ î❦❬❳ö❧♠ò❄ ♥♦õö❳ö♣q✽ r♦õöòst➦✉✈✽✇①ò② ③❄ §4.4 ④ ➺ ⑤ ➺ ✻⑥ ❑✯⑦✯ u0 + u1 + u2 + · · · + un + · · · = X∞ n=0 un. ❢ un ✩ ù⑧ ➊⑨ ⑧ ✳ ➥ ✹ αn ❴ βn, ✽ X∞ n=0 un = X∞ n=0 αn + iX∞ n=0 βn. ✻➂❑✯⑦✯ Pun ⑩ ✴❶❷♦❸ ➂ ù✯⑦✯ Pαn ➊ Pβn ✰❹❺❻→ ❄ ❼❽❾❽✚❿➀➁➂➃ ➀❪⑦✯ ✩ ⑧ ✳➊ Sn = u0 + u1 + u2 + · · · + un ➋★ ➭ ✩❍➄ {Sn} ➅➆✰✽✩ ⑦✯ Pun ➅➆✰ ❍➄ {Sn} ✩➡➢ S = limn→∞ Sn ✰ ✩✹ ⑦✯ Pun ✩➊ X∞ n=0 un = limn→∞ Sn. ➇✽✰⑦✯ Pun ✥➈➉✩❄ ⑦✯ ✩➅➆✚✰ ✥ ✛÷ ✩ ⑧ ✳➊❍➄✩➅➆✚ ◆❉✩❄❣❬✰■❏❍➄➅➆✩➊ q ✦➋✰❡ ➃➌ ➠⑦✯ ➅➆✩➊ q ✦➋ Cauchy ➊ q ✦➋➦ ❃➍➎❧ ε > 0 ✰➏➐➑ ➒ö n ✰➓ ❀❁❃➍ ➑ ➒ö p ✰➔ |un+1 + un+2 + · · · + un+p| < ε. ➤➥✥ ✰❢ p = 1 ✰❥❧➙⑦✯ ➅➆✩→ q ✦➋ limn→∞ un = 0. F ❆Ý➣ë➟ ➊●❍✩↔↕Û ✰❡➃➙➅➆⑦✯❐➛ ❄ u1 + u2 + u3 + u4 + · · · = (u1 + u2) + (u3 + u4) + · · ·