11.3多值函数的积分 第8页 尽管现在沿割线上下岸的积分都与所要计算的积分有关,但是,非常不巧,它们却相互 抵消掉了,而只剩下一个并非我们所要计算的定积分 ★失败的原因是,和根式函数不同,对数函数1nz的多值性表现在虚部上,因此沿割线 上下岸积分时,其实部(即lx)互相抵消. 失败”的教训与收获 ·第一,对于定积分/f(x)dx,如果f(x)不是偶函数(因此可能无法用103节中的方 法计算),可以通过应用留数定理计算围道积分中() In zdz来求得 ·第二,如果要计算积分/f(x)lrdr,则可以考虑复变积分pf()ln2zdz 因为这时割线上下岸ln2z的函数值ln2x和(nx+2mi)相互抵消,剩下的正 好有我们所需要的lnx项 现在就来完成例12中所要求的积分计算.为此,考虑积分 dz,围道C不 重复上面的计算步骤,就得到 x+2 dx=2丌 1+x+x2 1+z+z2 全平面 于是 ∞lnx +4r2 所以,就得到我们所要求的积分 除此之外,也还可以再次得到 以上讨论了留数定理的一种最基本的应用—计算定积分.由于篇幅的限制,这里只介绍了 最常见的几种类型的定积分.除了这几种类型之外,还有其他一些类型的定积分,包括像4.5节中 的含参量的无穷积分,也可以用留数定理计算Wu Chong-shi §11.3 ✡☛➼ ✆➽➪➶ ✌ 8 ✍ ☞ ✌⑤✞➫➯➵☞✗➸❆❇❈✍➹➧❤qr❆❇❈❡ ➘❉❖P❉✎✏❚✑❉♠✚④✟✒ ✓ ✔✕ ✖❉✒ ✗✘✙✚✛✜ ✢✣✤✥✦✧★✩✪✫✬ Z ∞ 0 1 1 + x + x 2 dx = 2π 3 √ 3 . ✭✮ ✯✰✫✬ I C ln z 1 + z + z 2 dz ✧★ Z ∞ 0 ln x 1 + x + x 2 dx ✱✲ ✳ F ✴✵✶✷✸✹✺✻✼✽✾✿❀❁✺❂✿✾✿ ln z ✶❃❄❅❆❇❈❉❊❋✺✸●❍■❏ ❋❑▲▼◆❖✺P◗❊ (❘ ln x) ❙❚❯❱❲ F ❳✴✵❨✶❩❬❭❪❫❴ • ❵❛✺❂❜❝▼◆ Z ∞ 0 f(x)dx ✺ ❞❡ f(x) ❀✹❢✾✿ (✸●❣❤✐❥❦ 10.3 ❧ ♠✶♥ ❥♦♣) ✺❣qrst❦ ✉✿❝✈♦♣ ✇①▼◆ I C f(z) ln z dz ②③④❲ • ❵⑤✺❞❡⑥♦♣▼◆ Z ∞ 0 f(x) ln xdx ✺⑦❣q⑧⑨⑩❶▼◆ I C f(z) ln2 z dz ❲ ✸❷❸❖■❏❋❑▲ ln2 z ✶✾✿❄ ln2 x ✻ (ln x + 2π i)2 ❚❙❯❱✺❹❑✶❺ ❻❼❽❾❿➀⑥✶ ln x ➁❲ ❇❈➂②➃➄➅ 12 ♠ ❿⑥③✶▼◆♦♣❲❷●✺⑧⑨▼◆ I C ln2 z 1 + z + z 2 dz ✺✇① C ❀❶❲ ➆ ⑩❋➇✶♦♣➈➉✺➂④➊ Z ∞ 0 ln2 x 1 + x + x 2 dx − Z ∞ 0 (ln x + 2π i)2 1 + x + x 2 dx = 2π i X ➋➌➍ res  ln2 z 1 + z + z 2  = 2π √ 3  16 9 π 2 − 4 9 π 2  = 8 3 √ 3 π 3 . ❜✹ − 4π i Z ∞ 0 ln x 1 + x + x 2 dx + 4π 2 Z ∞ 0 1 1 + x + x 2 dx = 8 3 √ 3 π 3 . ❿ q✺➂④➊❽❾❿⑥③✶▼◆ Z ∞ 0 ln x 1 + x + x 2 dx = 0. ➎ ●➏➐✺➑➒❣q➓➔④➊ Z ∞ 0 1 1 + x + x 2 dx = 2π 3 √ 3 . q❋→➣↔ ✉✿❝✈✶❛↕➙➛➜✶t❦ ♦♣❝▼◆❲➝❜➞➟✶➠➡✺❸➢➤➥➦↔ ➙➧➨✶➩↕➫➭✶❝▼◆❲➎ ↔❸➩↕➫➭➏➐✺➒ ❼ P➯❛➲➫➭✶❝▼◆✺➳➵➸ 4.5 ❧ ♠ ✶➺➻➼✶✐➽▼◆✺➑❣q❦ ✉✿❝✈♦♣❲