复旦大学本科生优秀毕业论文选编(2011) 推得涡量控制方程为:d=ω·(V⑧n)-日a+卩×a,这里a=υ是加速度场。考 虑不可压缩、体积力有势,并展开第一项,有: dw aX at (xt)·V⑧a=(v⑧V 对于平面问题:32=0.02=0,3=0,=0,故代入后有分量形式 aw /aX\ aw3 Re- a2 x7-(a/a,x=4o3s1 axiaxk axk 关于流函数的说明:设:v=V×φ,则:卩·v=0,=V×v=V(V·q)-4q, 对于二维问题:3=-4p3,令:ψ=q3,即有:四y=-3,由此即有二位问 题的流函数所满足的方程: a-y dyl g/-a3 3数值求解方法 3.1微分同胚构造 对于平面区域构造显含时间t的微分同胚 X(x.D=y(x1.+(q+x((x10)-x1,t)n(x1. 由此,将物理空间上的流动区域Dxx2-映照为关于基线y(x1,t)中的参数x2, 以及沿法线方向的相对位置x2的参数区域D21x2 3.2控制方程的离散方法 综合上述推导,所需求解的方程组为(1)(2)。对于涡量控制方程采用二次近 似格式。此格式的计算分二步:第一步以步长Δt显式推进一步,求出第n+1时 间层上的第一次近似值,方程右端偏导数采用中心差,如计算域不等距,可采用 项用三点或五点 Lagrange插值求得。第二步由上述算出的第一步值作为n时间 层上的近似值,对方程从n层到n+1层推进一步,得到第n+1时间层上的第二次 近似值,最后取二者算术平均值作为本次推进的值 对于流函数 Possion方程求解釆用逐次超松弛方法(SOR)迭代求解,取超松 弛因子为1.72。 3.3壁面流函数边界条件处理 以y边界为例,又流函数的定义,可推得壁面流函数边界条件为: 2> 0v<1 yIc. )-plca.=J(v<1> 0x -v<2>0x)(x, tdx 由此,再通过数值积分即可求得壁面流函数的取值 3.4壁面涡量边界条件处理复旦大学本科生优秀毕业论文选编（2011） 3 考。是加速度场̇ݒ = ̇ܽ这里 × ܽ,ߘ + ߱ߠ − (ݒ ⊗ ߘ) ⋅ ߱ = ̇߱:推得涡量控制方程为 虑不可压缩、体积力有势，并展开第一项，有： ∂ω − ݒ൬ + ݐ߲ ߲ܺ ݐ߲ + ߱ ⋅ (∇ ⊗ ݒ) = ߱ ⊗ ∇ ⋅ ൰)ݐ,ݔ) 1 ܴ݁ Δ߱ 对于平面问题：߱ଵ = 0, ߱ଶ = 0, ݒ ଷ = 0, ߁௝௜ ଷ = 0，故代入后有分量形式： ߲߱ଷ ݒ + ݐ߲ ௜ ߲߱ଷ ݔ߲ ௜ − ൬ ߲ܺ ൰ ݐ߲ ௜ ߲߱ଷ ݔ߲ = ଷ߱߂ = ௜ 1 ܴ݁ ቆ݃ ௞௜ ߲ ଶ߱ଷ ݔ߲ ݔ߲௜ ௞ − ݃ ௝௜߁௝௜ ௞ ߲߱ଷ ݔ߲ ௞ ቇ ,߮߂ − (߮ ⋅ ߘ)ߘ = ݒ × ߘ = ߱ ,0 = ݒ ⋅ ߘ:则 × ߮，ߘ = ݒ:设：关于流函数的说明 对于二维问题：߱ଷ = −߂߮ଷ，令：߰ = ߮ଷ，即有：ߘ߱− = ߰ଷ，由此即有二位问 题的流函数所满足的方程： ݃ ௜௝ ቈ ߲ ଶ߰ ݔ߲ ݔ߲௜ ௝ − Γ௜௝ ௞ ߲߰ ݔ߲ ௞ ቉ = −߱ଷ 3 数值求解方法 3．1 微分同胚构造 对于平面区域构造显含时间 t 的微分同胚 ݔ)ߛ = (ݐ,ݔ)ܺ ଵ ݔ + ߮ቀ) + ݐ, ଶ ݔ)߶൫ ଵ ݔ)߮ − (ݐ, ଵ ݔ)݊ ⋅ ൯ቁ)ݐ, ଵ (ݐ, 由此，将物理空间上的流动区域ܦ௑ భ௑ ݔ)ߛమ映照为关于基线 ଵ ݔ中的参数)ݐ, ଵ， ݔ以及沿法线方向的相对位置 ଶ的参数区域ܦ௫ భ௫ మ。 3．2 控制方程的离散方法 综合上述推导，所需求解的方程组为(1)(2)。对于涡量控制方程采用二次近 似格式。此格式的计算分二步：第一步以步长Δ t 显式推进一步，求出第 n+1 时 间层上的第一次近似值，方程右端偏导数采用中心差，如计算域不等距，可采用 项用三点或五点 Lagrange 插值求得。第二步由上述算出的第一步值作为 n 时间 层上的近似值，对方程从 n 层到 n+1 层推进一步，得到第 n+1 时间层上的第二次 近似值，最后取二者算术平均值作为本次推进的值。 对于流函数 Possion 方程求解采用逐次超松弛方法(SOR)迭代求解，取超松 弛因子为 1.72。 3．3 壁面流函数边界条件处理 ߛ以 ఝ 边界为例，又流函数的定义，可推得壁面流函数边界条件为： ߰|(ఉ,଴) − ߰|(ఈ,଴) = න (ݒ ఝ ழଵவ ఉ ఈ ݒ߲ ఝ ழଶவ ݔ߲ ݒ − ଵ ఝ ழଶவ ݒ߲ ఝ ழଵவ ݔ߲ ଵ ݔ)( ଵ ݔ݀(ݐ, ଵ 由此，再通过数值积分即可求得壁面流函数的取值。 3．4 壁面涡量边界条件处理