性常徵分方程的幂级数解法 第八讲二阶线性常微分方程的幂级数解法( §8.1二阶线性常微分方程的常点和奇点 二阶线性齐次常微分方程的标准形式 da2+p(2)x+(2)x=0 (8 p(2)和q(2)称为方程的系数 方程的解是完全由方程的系数决定的 特别是,方程解的解析性是完全由方程系数的解析性决定的 用级数解法解常嶶分方程时,得到的解总是某一指定点20的邻域内收敛的无穷级数 方程糸数p(z),q(z)在∂点的解析性就决定了级数解在如点的解析性,或者说,就决定 了级数解的形式,例如,是 Taylor级数还是 Laurent级数 如果p(z),q(2)在20点解析,则20点称为方程的常点 如果p(2),q(2)中至少有一个在20点不解析,则20点称为方程的奇点 例81超几何方程( Hypergeometric equation) d:2+{7-(1+a+ 的系数是 p(2) +)2 2(1-2) 和q(z)= (1-2) 在有限远处,p(2)和q(2)有两个奇点:z=0和z=1.所以,除了z=0和z=1是超几何方程 的奇点外,有限远处的其他点都是方程的常点 例8.2 Legendre方程 (1-x2),d +l(+1)y=0 在有限远处的奇点为x=±1Wu Chong-shi ￾✁✂ ✄☎✆✝✞✟✠✡☛☞✌✍✎✏✑ (✒) ✓ 1 ✔ ✕✖✗ ✘✙✚✛✜✢✣✤✥✦✧★✩✪✫ (✬) §8.1 ✭✮✯✰✱✲✳✴✵✶✱✷✸✹✷ ✺✻✼✽✾✿❀❁❂❃❄❅❆❇❈❉ d 2w dz 2 + p(z) dw dz + q(z)w = 0, (8.1) p(z) ❊ q(z) ❋●❍■❏❑▲▼ • ❍■❏◆❖P◗ ❘❍■❏❑▲❙❚❏▼ • ❯❱❖❲❍■◆❏◆❳❨❖P◗ ❘❍■❑▲❏◆❳❨❙❚❏▼ ❩❬❭❪❫❪❴❵❛❜❝❞❲ ❡❢❣❪❤✐ ❥❦❧♠♥ z0 ❣♦♣ qrs❣t✉❬❭▼ ❜❝ ✈❭ p(z), q(z) ✇ z0 ♥❣❪①②③④♠ ⑤❬❭❪✇ z0 ♥❣❪①②❲ ⑥⑦⑧❲③④♠ ⑤❬❭❪❣⑨⑩❲❶❷❲✐ Taylor ❬❭❸✐ Laurent ❬❭▼ • ❹❺ p(z), q(z) ❻ z0 ❼◆❳❲❽ z0 ❼❋●❍■❏❾❼▼ • ❹❺ p(z), q(z) ❿➀➁➂➃➄❻ z0 ❼➅◆❳❲❽ z0 ❼❋●❍■❏➆❼▼ ➇ 8.1 ➈➉➊❍■ (Hypergeometric equation) z(1 − z) d 2w dz 2 + γ − (1 + α + β)z dw dz − αβw = 0 ❏❑▲❖ p(z) = γ − (1 + α + β)z z(1 − z) ❊ q(z) = − αβ z(1 − z) . ❻➂➋➌➍❲ p(z) ❊ q(z) ➂➎➄➆❼➏ z = 0 ❊ z = 1 ▼➐➑❲➒➓ z = 0 ❊ z = 1 ❖➈➉➊❍■ ❏➆❼➔❲➂➋➌➍❏→➣❼↔❖❍■❏❾❼▼ ➇ 8.2 Legendre ❍■ ￾ 1 − x 2
d 2y dx 2 − 2x dy dx + l(l + 1)y = 0, ❻➂➋➌➍❏➆❼● x = ±1 ▼