四。母函数与数字特征的关系 定理设随机变量X的期望、方差和母函数 分别为E(X)2D(X),g(z),则有 (1)E(X)=g(1),(1。8) (2)D(X)=g"()+g(1)-[g(1)2.(1。9) 证:(1);g(-)=∑p2,g(2)=∑k k=0∞ k: 从而有:g()=∑kpk=E(X) (2)只需证明:E(X2)=g()+g(1)四。母函数与数字特征的关系 定理 设随机变量X的期望、方差和母函数 分别为 E(X ), D(X ), g(z) ，则有： （1） E(X ) = g (1); （2） ( ) (1) (1) [ (1)] . 2 D X = g  + g  − g  证：    = −  = =   = 1 1 0 ( ) , ( ) . k k k k k k  g z p z g z k p z 从而有：   =  = = 1 (1) ( ). k g k pk E X （1） （2）只需证明： ( ) (1) (1). 2 E X = g  + g  （1。8） （1。9）