不定积分讨论题 定积分计算 1.设∫(x)=」,e-,求」xf(x) dt,试用A表示:(1)B= 1+t a-1t-a-1 (2) 0(1+t)2 3.设厂∈C1,证明:∫,∫(m)x=」7x-x3)(xt 4.计算定积分:[xlm(1+e)d 、定积分应用 1.设有曲线族y=kx2(k>0),对于每个正数k(k≥2)曲线y=kx 与曲线y=snx(0≤x≤")交于唯一的一点(t,sint)(其中t=t(k), 用S表示曲线y=kx2与曲线y=simx(sx≤)围成的区城的面积 S2表示曲线y=sinx,y=sint与x=围成的区域的面积求证在上述 曲线族中存在唯一的一条曲线L,使得S+S2达到最小值 2.点A(3,1,-1)是闭曲面S 1:x+y+x-2x-6y+4z=10 内的定点。求以点A为球心的球面S2,使S2被包含在S1内的那部分面积 S为最大。 三、定积分证明 1.设f(x)在{a,b上连续,且x"f(x)dx=0,(n=0,1,2,3) 问:∫(x)在[a,b上至少有几个零点?并证明你的结论。 2.设∫(x)是连续偶函数,∫(x)>0,且 g(x)=lx-tIf(r)dt, -asxsa (1)证明:g′(x)在[-a,a上严格单调增 (2)求使g(x)在|-a,a上取最小值的点; (3)若对任意a>0,均有ming(x)=f(a)-a2-1,求f(x)不定积分讨论题 一、定积分计算 1． 设  − = 2 2 1 ( ) x x f x e dx ，求  1 0 xf (x)dx . 2． 设  + = 1 0 1 dt t e A t ，试用 A 表示：（1）  − − − − = a a t dt t a e B 1 1 ， （2）  + 1 0 2 (1 ) dt t e t . 3． 设 f  C[0,1] ，证明：    = − 1 0 2 1 0 ( ( ) ) ( ) ( ) 2 f t dt dx x x f x dx x x . 4．计算定积分： − + 2 2 x ln(1 e )dx x 二、定积分应用 1． 设有曲线族 ( 0) 2 y = kx k  ,对于每个正数 k ( 2 4  k  ),曲线 2 y = kx 与曲线 ) 2 sin (0  y = x  x  交于唯一的一点 (t,sin t) (其中 t = t(k) )， 用 S1 表示曲线 2 y = kx 与曲线 ) 2 sin (0  y = x  x  围成的区域的面积； S 2 表示曲线 y = sin x, y = sint 与 2  x = 围成的区域的面积.求证在上述 曲线族中存在唯一的一条曲线 L ,使得 S1+S2 达到最小值. 2． 点 A(3, 1, − 1) 是闭曲面 S1 ： 2 6 4 10 2 2 2 x + y + z − x − y + z = 内的定点。求以点 A 为球心的球面 S2 ，使 S2 被包含在 S1 内的那部分面积 S 为最大。 三、定积分证明 1．设 f ( x) 在 [a,b] 上连续，且  = b a n x f (x)dx 0 ，（ n = 0, 1, 2, 3 ） 问： f ( x) 在 [a,b] 上至少有几个零点？并证明你的结论。 2．设 f ( x) 是连续偶函数， f ( x)  0 ，且 g x x t f t dt a −a ( ) = | − | ( ) ， − a  x  a （1） 证明： g( x) 在 [−a, a] 上严格单调增； （2） 求使 g( x) 在 [−a, a] 上取最小值的点； （3） 若对任意 a  0 ，均有 min ( ) ( ) 1 2 = − − −   g x f a a a x a ，求 f ( x)