令{y= asin sin 8,得到√BG-F2=a2si,于是 Fsc or G(a p-b )a sin p (a+b-2abcos)2 在上述积分中,再令t=a2+b2-2 Cab cos o,得到 b<a 丌Gara+bb2-a2+t b2Jk-hltidt= 4rGa2 >a 所以当b<a时,引力F=(000:3当b>a时,引力F=0.0.-4xCm-)。 b 8.设u(x,y,)为连续函数,它在M(xny0,=)处有连续的二阶导数。记 ∑为以M点为中心,半径为R的球面,以及 T(R)= u(x,y, a)ds (1)证明:mT(R)=a(x,y) (2)若( 02u 02u ≠0,求当R→0时无穷小量 - ay T(R)-(x0,y302)的主要部分。 解(1)由于v(x,y,x)在M(xn,y0,x0)处连续,所以vE>0,3δ>0,当 (x-x)2+(y-y)2+(2-=0)2<o时,成立 u(xy)-(x,y,=0)<E 于是当R=√x-x)+(-y)+(=-=)<6时, x,y,)dS-(x,y,=0 4丌R2 (x,y)-(x,y)d△< 所以成立 imT(R)=(x0,y0,-0) R→0 =x0+R5 (2)令{y=y+Rn,则 2=z0+R T(R)= 42小(x+R5,1+R7,o+R)dS, 其中x=5n2+2+2=小利用对称性,有 ds rds令 ，得到 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = ϕ ϕ θ ϕ θ cos sin sin sin cos z a y a x a − = 2 EG F sinϕ 2 a ，于是 2 2 3 0 0 2 2 2 ( cos ) sin ( 2 cos ) z G a b a F d d a b ab π π ϕ ϕ θ ϕ ϕ − = + − ∫ ∫ ， 在上述积分中，再令 2 cosϕ 2 2 t = a + b − ab ，得到 2 2 2 2 2 2 2 0 , 4 , a b z a b b a Ga b a t F dt Ga b t b a b π π + − ⎧ < − + ⎪ = − = ⎨ ⎪− > ⎩ ∫ ， 所以当b < a 时，引力F = (0,0,0) ；当b > a时，引力 2 2 4 (0,0, ) Ga b π F = − 。 8．设u( , x y z, ) 为连续函数，它在 处有连续的二阶导数。记 ∑为以 M x( , y ,z ) 0 0 0 M 点为中心，半径为 R的球面，以及 ∫∫ Σ π = u x y z dS R T R ( , , ) 4 1 ( ) 2 。 （1）证明：lim ( ) ( , , ) ； R T R u x y z → = 0 0 0 0 （2）若( ) 0 ( , , ) 2 2 2 2 2 2 0 0 0 + + ≠ x y z z u y u x u ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ，求当R → 0时无穷小量 T R( ) − u(x , y ,z ) 0 0 0 的主要部分。 解（1）由于 u( , x y z, ) 在 M x( , 0 0 y ,z0 ) 处连续，所以∀ε > 0， ∃ > δ 0 ，当 2 2 2 0 0 0 ( ) x x − + (y − y ) + (z − z ) < δ 时，成立 0 0 0 u x( , y z, ) −u x( , y ,z ) < ε 。 于是当 2 2 2 0 0 0 R x = − ( ) x + (y − y ) + (z − z ) < δ 时， 2 0 0 0 1 ( , , ) ( , , ) 4 u x y z dS u x y z π R Σ − ∫∫ 2 0 0 0 1 ( , , ) ( , , ) 4 u x y z u x y z dS R ε π Σ ≤ − < ∫∫ ， 所以成立 lim ( ) ( , , ) R T R u x y z → = 0 0 0 0 。 （2）令 ，则 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + = + = + ς η ξ z z R y y R x x R 0 0 0 T(R) = ∫∫ Σ + + + * ( , , ) 4 1 u x0 Rξ y0 Rη z0 Rς dS π ， 其中 {( , , ) 1} * 2 2 2 Σ = ξ η ς ξ +η + ς = 。利用对称性，有 ∫∫ Σ = * ξdS ∫∫ Σ = * ηdS 0 * ∫∫ Σ ς dS = ， 7