什么叫方程(组)? 大学数学实验 方程:包含未知数(或和未知函数)的等式 方程组:包含未知数(或和未知函数)的一组等式 Experiments in Mathematics 不包含未知函数的方程组的一般形式:F(x)=0 x=(x1x2…,x)2,F(x)=(f(x22(x),…,m(x)(一般m=n) 实验6非线性方程求解 满足方程(组)的未知数的取值称为方程(组)的 解,或称为F(x)的零点 半大总数科系 单变量方程(一元方程):f(x)=0,“解”也称为“根 非线性方程的特点 实验6的基本内容 方程分类: ·代数方程:ax+ax1+…+an=0; 1.非线性方程∫(x)=0的数值解法: ·超越方程:包含超越函数如sinx,nx)的方程 迭代方法的基本原理 非线性方程:m(22)次代数方程和超越方程 牛顿法;拟牛顿法 方程根的特点: 2.推广到解非线性方程组 n次代数方程有且只有n个根包括复根、重根); 3.实际问题中非线性方程的数值解 5次以上的代数方程无求根公式 4.分仓和混沌现象 ·超越方程有无根,有几个根通常难以判断 (学学奖 实例1路灯照明 实例1路灯照明 员购灯续线然铸置工最的点亮的总在厘灯 建立坐标系如图,两个光源在点Q(x,0)的照度分别为 如果P的高度可以在米到9米之间变化,如何使路面上最暗 ,l2= P2 sina2是由量纲单位决定的比 例系数,不妨记k 点的亮度最大? 点Q的照度C(x)=+ 如果两只路灯的高度均可以在3米到9米之间变化呢? r2=2+x2,2=+(x-x)2 P PP2,P=3(千瓦) h5,h26(米) h2√2+(-1 大学数学实验 Experiments in Mathematics 实验6 非线性方程求解 清华大学数学科学系 什么叫方程（组）? 方程：包含未知数（或/和未知函数）的等式 方程组：包含未知数（或/和未知函数）的一组等式 不包含未知函数的方程组的一般形式： F(x)=0 x= (x1,x2,…,xn)T, F(x)=(f1(x),f2(x),…,fm(x))T (一般m=n) 满足方程（组）的未知数的取值称为方程（组）的 解，或称为F(x)的零点。 单变量方程（一元方程）：f(x)=0, “解”也称为“根” 非线性方程的特点 方程根的特点： • n次代数方程有且只有n个根(包括复根、重根)； • 5次以上的代数方程无求根公式； • 超越方程有无根，有几个根通常难以判断。 方程分类： • 代数方程: a0xn+a1xn-1+…+an=0； • 超越方程：包含超越函数(如sinx, lnx)的方程； • 非线性方程：n(≥2)次代数方程和超越方程。 实验6的基本内容 3.实际问题中非线性方程的数值解 1.非线性方程 f(x)=0 的数值解法: • 迭代方法的基本原理; • 牛顿法; 拟牛顿法. 2.推广到解非线性方程组 4.分岔和混沌现象 实例1 路灯照明 道路两侧分别安装路灯，在漆黑的夜晚，当两只路灯开启时， 两只路灯连线的路面上最暗的点和最亮的点在哪里？ h2 P P2 1 s h1 • 如果P2的高度可以在3米到9米之间变化，如何使路面上最暗 点的亮度最大？ • 如果两只路灯的高度均可以在3米到9米之间变化呢？ s=20(米) P1=2, P2=3(千瓦) h1=5, h2=6(米) 实例1 路灯照明 建立坐标系如图，两个光源在点Q(x,0)的照度分别为 (k是由量纲单位决定的比 2 例系数，不妨记k=1) 2 2 2 2 2 1 1 1 1 sin , sin r P I k r P I k α α = = 点Q的照度 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1r = h + x , r = h + (s − x) x x α1 α2 O h2 P2 r1 P1 s r2 h1 y Q 2 2 1 1 1 1 1 sin h x h r h + α = = 2 2 2 2 2 2 2 ( ) sin h s x h r h + − α = = ( ) ( )3 2 2 2 2 2 3 2 2 1 1 1 ( ) ( ) h s x P h h x Ph C x + − + + =