习题 证明以下各式: (1).A∪B=A∪(A∩B) (2)∪A-UB,=U∩(4-B (3)A∩dB)=U(⌒B) (4)E-UA=∩(E-A) (5)E-∩A=U E-A r∈T (6).(A△B)nC=(AC△(B∩C 2.设{n}是R上的一列实值函数,满足f(x)≤f2(x)≤…,x∈R1.并设{f} 存在极限函数f(x).证明对任意实数c,成立 (i). (x: /(x)>c)=Uix: f,(x)>c) (i).(x:f(x)<c)=ntx: f,(x)sc) 3.设{n}是R上的一列实值函数证明 {x:1mJ(x)=+}=∩U∩x:f(x)>k 4.设ECR”,a∈R",记a+E={a+x:x∈E}.证明若A,B∈R", a∈R",则 (1).a+A∩B=(a+A)∩(a+B) (i).a+A=(a+A) 5.设A2n1=(0,)A2n=(0,n),n≥1.求lmAn和imA 6.设{〃}是R"上的一列实值函数,AcR”,并且在R”上 fn(x)→>I4(x)(n→∞).证明im{x:fn(x)≥l/2}=A 7.设∫是X到Y的映射,{A}ax是X中的一族集.证明37 习 题 一 1. 证明以下各式: U UI U n i n i m j i j m j i j c A B A B A B A A B 1 11 1 (2). ( ). (1). ( ). = == = − = − ∪ = ∪ ∩ U U( ) t T T t A Bt A Bt ∈ ∈ (3). ∩ ( ) = ∩ . (4). U I( ). t T t t T E At E A ∈ ∈ − = − (5). I U( ). t T t t T E At E A ∈ ∈ − = − (6). (A∆B) ∩ C = (A ∩C)∆(B ∩ C). 2. 设{ }n f 是 1 R 上的一列实值函数, 满足 ( ) ( ) , f1 x ≤ f 2 x ≤ L x ∈ 1 R . 并设{ }n f 存在极限函数 f (x). 证明对任意实数 c, 成立 (i). { : ( ) } { : ( ) }. 1 U ∞ = > = > n n x f x c x f x c (ii). { : ( ) } { : ( ) }. 1 I ∞ = ≤ = ≤ n n x f x c x f x c 3. 设{ }n f 是 1 R 上的一列实值函数. 证明 IUI 1 1 { : lim ( ) } { : ( ) }. ≥ ≥≥ →∞ = +∞ = > km m n n n n x f x x f x k 4. 设 E ⊂ , n R a ∈ , n R 记 a + E = {a + x : x ∈ E}. 证明若 A, B ∈ , n R a ∈ , n R 则 (ii). ( ) . (i). ( ) ( ). c c a A a A a A B a A a B + = + + ∩ = + ∩ + 5. 设 ), (0, ), 1. 1 (0, 2 −1 = A2 = n n ≥ n A n n 求 lim lim . n n n n A A →∞ →∞ 和 6. 设 { }n f 是 n R 上的一列实值函数 , , n A ⊂ R 并且在 n R 上 f (x) → I (x) (n → ∞). n A 证明 lim{x : f (x) 1 2} A. n n ≥ = →∞ 7. 设 f 是 X 到Y 的映射, At t∈T { } 是 X 中的一族集. 证明