第23卷第2期 邢台学院学报 Vol 23 No2 2008年6月 OURNAL OF XNGTAIUNNERSITY Jun 2008 压电材料平面问题的 基本解在复变函数中的应用 靳静 (石家庄铁道学院研究生分院河北石家庄 050043) 摘要：从压电平面问题的基本方程出发，应用复变函数的方法，导出了无限介质受任意集中载荷作用时的复势函数 基本解，这些结果可作为边界元法的基本解，以求解具有复杂边界压电体的平面问题。 关键词：压电材林平面问题：基本解：复变函数 中图分类号：0343 文献标识码：A文章编号：1672一4658(2008)02-0116-02 1引言 6马=长H=4∈Tu (4) 压电材料因其良好的力电耦合特性而广泛应用于换能 D马=-w∈Tn9=p∈ 器、传感器和致动器等电子元件，因而有关压电材料的力学 其中σ问e。4ED和中分别为应力、应变、位移、电 问题越来越引起人们的关注。但由于材料本身的机一电耦 场强度、电位移和电势：手为体积力和电荷密度；C 合效应，各向异性以及物理或几何的非连续性，使得问题的 ∈k卡ω分别表示弹性常数，压电常数、介电常数，给 求解非常复杂，因此为工程设计人员提供一个完整的可靠 定面力和表面电荷密度，马为边界「的外法线方向余弦， 性分析的理论依据，以便于工程人员的使用和对元器件的 且下UTu=Ug=. 优化设计，是研究人员急需解决的问题。文献[]从横观 压电材料平面问题基本方程简化为 各向同性压电介质平面问题基本方程出发，得到无限平面 dx da 在集中力和点电荷作用下的边界元解法，文献[2]得到了 ax az -十=0 平面问题的一般解在T心祛中的应用，文献【3]通过对 dxy a 状态方程进行Fau变换，获得了无限压电介质受单位 +E=0 (5) ax 集中力和集中点电荷作用时的平面问题基本解。文献[4] aD z 从一般解出发，求出了压电材料半平面内部作用集中力和 0x=9 点电荷时的Gen函数.本文应用复变函数的方法，分别 Ju 给出了无限压电材料平面问题的复势函数基本解。 Ex-0x az = 2基本方程 E、中 压电材料的平衡方程为 ax (6) cij十f=0 (1) az (Di-9=0 几何方程为 x=fix z 5 az e1=分(5+9动 au (2) a:=fa ax+az+iz (E=-9i au ao 本构方程为 【x=aaz十a家+名x (7 oi=Ckek1一iE (3) au (D=91EH∈kE D.=Si ax+$zEz 边界条件为 au ao D=B(ax十R-1x [收稿日期12007一11一14 [作者简介]新静(1980一，女，河北石家庄市人，毕业于河北农业大学，在读颈士生，主要从事工程力学的研究.E一ml血n的5@0日m 2016 China Academie Journal Electronic Publishing House.All rights reserved. http://www.cnki.net[ 收稿日期] 2007-11 -14 [ 作者简介]靳 静(1980 -), 女,河北石家庄市人, 毕业于河北农业大学,在读硕士生, 主要从事工程力学的研究.E-mail:jinjing05@sina.com 压电材料平面问题的 基本解在复变函数中的应用 靳 静 (石家庄铁道学院研究生分院, 河北石家庄 050043) 摘 要:从压电平面问题的基本方程出发, 应用复变函数的方法, 导出了无限介质受任意集中载荷作用时的复势函数 基本解。 这些结果可作为边界元法的基本解, 以求解具有复杂边界压电体的平面问题。 关键词:压电材料;平面问题;基本解;复变函数 中图分类号:O343 文献标识码:A 文章编号:1672 -4658(2008)02 -0116 -02 1 引言 压电材料因其良好的力电耦合特性而广泛应用于换能 器 、传感器和致动器等电子元件 ,因而有关压电材料的力学 问题越来越引起人们的关注 。但由于材料本身的机 -电耦 合效应 、各向异性以及物理或几何的非连续性 , 使得问题的 求解非常复杂 , 因此为工程设计人员提供一个完整的可靠 性分析的理论依据 , 以便于工程人员的使用和对元器件的 优化设计 , 是研究人员急需解决的问题 。文献 [ 1]从横观 各向同性压电介质平面问题基本方程出发 , 得到无限平面 在集中力和点电荷作用下的边界元解法 。文献 [ 2]得到了 平面问题的一般解在 Trefftz法中的应用 。文献 [ 3]通过对 状态方程进行 Fourier变换 , 获得了无限压电介质受单位 集中力和集中点电荷作用时的平面问题基本解 。文献 [ 4] 从一般解出发 , 求出了压电材料半平面内部作用集中力和 点电荷时的 Green函数 。本文应用复变函数的方法 , 分别 给出了无限压电材料平面问题的复势函数基本解 。 2 基本方程 压电材料的平衡方程为 σij, j+fi =0 Di, i-q=0 (1) 几何方程为 εij = 1 2 (ui, j +uj, i) Ei =-φ, i (2) 本构方程为 σij =Cijklεkl -ekijEk Di =eiklεkl +∈ ikEk (3) 边界条件为 σijnj =ti∈ Γt, ui =ui∈ Γu Dini =-ω∈ Γω, φ=φ∈ Γφ (4) 其中 σij, εij, ui, Ei, Di和 φ分别为应力 、应变 、位移 、电 场强度 、电位移和电势 ;fi, q为体积力和电荷密度 ;Cijkl, ekij, ∈ ik, ti, ω分别表示弹性常数 、压电常数 、介电常数 、给 定面力和表面电荷密度 。nj为边界 Γ的外法线方向余弦 , 且 Γt∪ Γu =Γω ∪ Γφ =Γ。 压电材料平面问题基本方程简化为 σx x + τzx z +fx =0 τxy x + σz z +fz =0 Dx x + Dz z =q (5) εx = u x εz = ω z rxz = ω x + u z Ex =- φ x Ez =- φ z (6) σx =c11 u x +c13 ω z +e31 φ z σz =c13 u x +c33 ω z +e33 φ z τzx =c44( u z + ω x )+e15 φ x Dz =e31 u x +e33 ω z -ε33 φ z Dx =e15 ( u x + ω x )-ε11 φ x (7) · 116· 第 23卷第 2期 邢 台 学 院 学 报 Vol.23.No.2 2008年 6月 JOURNALOFXINGTAIUNIVERSITY Jun.2008