注:向量的内积是把解析几何(见高数第7章)中3维向量的数量积推广 到n维数量积:y=|al|ycos推广到内积a,y=|cyos.0就是 向量x与y的夹角 预备知识向量的内积 方阵的特征值与特征向量 定义当内积r,9]=cy=0时,称向量a与y正交.很显然,若与y正交 相似矩阵 对称矩阵的相似矩阵 且x≠0,y≠0,则a与y的夹角为90°零向量0与任何同维向量正交 二次型及其标准形 用配方法化二次型成标 定理1若n维向量a1,a2,…,a1是一组两两正交的非零向量,称为正交向量 组,则a1,a2,…,a线性无关 主讲:张少强 证设有A1A2,…,A使a1+入2a2 0 标题页 上式两边分别左乘以a得 Aa1,a1]+2{a1a2+…+入{a1,an={a1 第5页共页 a1与其他向量正交=>A1a1,a]=0=1|a1|2=0 又因a1≠0,所以1≠0,从而必有入1=0 用a2,…,依次左乘Aa1+a2+…+入an=0,类似可得到入2 全屏显示 0,……,入=0,于是向量组a1,a2,…,a线性无关天津师范大学 ˝£: ï˛S» ê AäÜAï˛ É q › È°› Éq› g.9ŸIO/ ^ê{zg.§I. . .  ½  g . Ã˘: ‹r I K ê JJ II J I 1 5 ê
42 ê à £  ¶ w ´ ' 4 Ú — 5: ï˛S»¥r)¤A¤(ÑpÍ17Ÿ)•3ëï˛Ͳ»Ì2 në. Ͳ»x · y = |x| |y| cos θÌ2S»[x, y] = kxk kyk cos θ. θ“¥ ï˛xÜyY. ½¬ S»[x, y] = x Ty = 0û, °ï˛xÜy. Èw,, exÜy Öx 6= 0, y 6= 0, KxÜyYè90◦ . "ï˛0Ü?¤”ëï˛. ½n1 enëï˛a1, a2, · · · , ar¥ò|¸¸ö"ï˛, °èï˛ |, Ka1, a2, · · · , arÇ5Ã'. y kλ1λ2, · · · , λr¶λ1a1 + λ2a2 + · · · + λrar = 0, ˛™¸>©Oܶ±a T 1 λ1[a1, a1] + λ2[a1, a2] + · · · + λr[a1, ar] = [a1, 0] ∵ a1ÜŸ¶ï˛ =⇒ λ1[a1, a1] = 0 =⇒ λ1ka1k 2 = 0 qœa1 6= 0, §±ka1k 6= 0, l 7kλ1 = 0. ^a T 2 , · · · , a T rùgܶλ1a1 + λ2a2 + · · · + λrar = 0, aqåλ2 = 0, · · · , λr = 0, u¥ï˛|a1, a2, · · · , arÇ5Ã'.