这部分主要包括有限维 Euclid空间上微分学的二个重要结果(国内现行微积分教材鲜有涉及):①秩 定理;② Morse定理。 这二个定理的分析过程都基于有限维 Euclid空间中的微分同胚,并基于微分同胚(可理解为引入新 的坐标/曲线坐标)深刻揭示了向量值映照与多元函数的深层机制,且相关结果紧密联系于线性代数。我 们在讲述有限维 Euclid空间上微分学时已引入微分同胚(曲线坐标)的概念及其局部及全部存在性定理 上述二个定理在 Riemann积分的换元公式分析、 Euclid空间中微分流形的理解、常微分方程中相轨迹局 部直线化与均匀化、偏微分方程中弯曲边界的展平/拉直,以及后续现代几何学中都起着基础性地作用, 故本课程选择讲述上述二个定理具有“承上启下”与“温故而知新的作用”。另一方面,由于这二个定理 的分析过程“精细”且“冗长”,我们充分采用定理内容与分析过程的“图示化展示”,课堂讲授中将分析 过程对于的结果图示化,使得学生听讲时能试试感受分析背后的几何意义,具有理想的教与学的效果 第三部分有限维 Euclid空间中 Riemann积分的深化理论讲授4学时/次,共3次 1.闭方块上 Riemann积分的 Darboux大小和分析理论,主要基于 Darboux和的“和谐式估计”以及 确界相关分析理论。此部分内容完全是一维闭区间上相关理论的“温故而知新”。 2.闭方块上 Riemann积分存在的充分必要性条件,亦即 Lebesgue定理。主要基于 Riemann部分和 极限之 Cauchy收敛原理叙述及其相关估计。 3.基于闭方块上 Riemann积分的 Lebesgue定理,结合集合特征函数,定义允许集上 Riemann积分, 以及相关积分性质。 4.重积分及累次积分间的关系,亦即 Fubini定理。 5.基于微分同胚下 Lebesgue零测集的性质,系统证明积分换元公式等 本部分将严格揭示 Riemann积分的本质特征—零测集上的差异不影响可积性与积分值。分析上依 然限制于 Riemann积分而无需测度论的系统方法与结果 本部分主要阐述:① Riemann可积性的实质性判定定理,亦即 Lebesgue定理。②实际计算 Riemann 积分的二个基本依据: Fubini定理与积分换元公式。—这些分析均显得“精致”且“冗长”,就此我们 采用“复杂过程的要义分解”与“分析过程的图示化”方法进行阐述,经实践亦有较为理想的教与学的成 2018年暑期课程《经典力学数学名著选讲(有关微积分的深化)》基本安排(实际讲授约40学时) 上课地点:希望光华西辅楼教室 暑期周假 课程安排 第一周|7月09日(周一)|7月10日(周二)7月11日(周三)|7月12日(周四)7月13日(周五) 上午2-5节 上午2-5节 上午2-5节 上午2-5节 上午2-5节 (第5节研讨) (第5节研讨) (第5节研讨) (第5节研讨) (第5节研讨) 第二周|7月16日(周一)|7月17日(周二)7月18日(周三)|7月19日(周四)|7月20日(周五) 上午2-5节 上午2-5节 上午2-5节 上午2-5节 上午2-5节 第5节研讨 (第5节研讨) (第5节研讨) (第5节研讨) (第5节研讨) 月 试 注:我们建设有课程网站“微积分的一流化进程”http://fdipkc.fudan.edu.cn/d201353/mainpsp。网站上已 发布2015、2016年本暑期课程的全程录像,以及其它相关信息,可供参考。这部分主要包括有限维 Euclid 空间上微分学的二个重要结果（国内现行微积分教材鲜有涉及）：①秩 定理；②Morse 定理。 这二个定理的分析过程都基于有限维 Euclid 空间中的微分同胚，并基于微分同胚（可理解为引入新 的坐标/曲线坐标）深刻揭示了向量值映照与多元函数的深层机制，且相关结果紧密联系于线性代数。我 们在讲述有限维 Euclid 空间上微分学时已引入微分同胚（曲线坐标）的概念及其局部及全部存在性定理。 上述二个定理在 Riemann 积分的换元公式分析、Euclid 空间中微分流形的理解、常微分方程中相轨迹局 部直线化与均匀化、偏微分方程中弯曲边界的展平/拉直，以及后续现代几何学中都起着基础性地作用， 故本课程选择讲述上述二个定理具有“承上启下”与“温故而知新的作用”。另一方面，由于这二个定理 的分析过程“精细”且“冗长”，我们充分采用定理内容与分析过程的“图示化展示”，课堂讲授中将分析 过程对于的结果图示化，使得学生听讲时能试试感受分析背后的几何意义，具有理想的教与学的效果。 第三部分 有限维 Euclid 空间中 Riemann 积分的深化理论 讲授 4 学时/次，共 3 次 1. 闭方块上 Riemann 积分的 Darboux 大小和分析理论，主要基于 Darboux 和的“和谐式估计”以及 确界相关分析理论。此部分内容完全是一维闭区间上相关理论的“温故而知新”。 2. 闭方块上 Riemann 积分存在的充分必要性条件，亦即 Lebesgue 定理。主要基于 Riemann 部分和 极限之 Cauchy 收敛原理叙述及其相关估计。 3. 基于闭方块上 Riemann 积分的 Lebesgue 定理，结合集合特征函数，定义允许集上 Riemann 积分， 以及相关积分性质。 4. 重积分及累次积分间的关系，亦即 Fubini 定理。 5. 基于微分同胚下 Lebesgaue 零测集的性质，系统证明积分换元公式等。 本部分将严格揭示 Riemann 积分的本质特征——零测集上的差异不影响可积性与积分值。分析上依 然限制于 Riemann 积分而无需测度论的系统方法与结果。 本部分主要阐述：①Riemann 可积性的实质性判定定理，亦即 Lebesgue 定理。②实际计算 Riemann 积分的二个基本依据：Fubini 定理与积分换元公式。——这些分析均显得“精致”且“冗长”，就此我们 采用“复杂过程的要义分解”与“分析过程的图示化”方法进行阐述，经实践亦有较为理想的教与学的成 效。 2018 年暑期课程《经典力学数学名著选讲（有关微积分的深化）》基本安排（实际讲授约 40 学时）： 上课地点：希望光华西辅楼教室 暑期周假 课程安排 第一周 7 月 09 日（周一） 上午 2－5 节 （第 5 节研讨） 7 月 10 日（周二） 上午 2－5 节 （第 5 节研讨） 7 月 11 日（周三） 上午 2－5 节 （第 5 节研讨） 7 月 12 日（周四） 上午 2－5 节 （第 5 节研讨） 7 月 13 日（周五） 上午 2－5 节 （第 5 节研讨） 第二周 7 月 16 日（周一） 上午 2－5 节 （第 5 节研讨） 7 月 17 日（周二） 上午 2－5 节 （第 5 节研讨） 7 月 18 日（周三） 上午 2－5 节 （第 5 节研讨） 7 月 19 日（周四） 上午 2－5 节 （第 5 节研讨） 7 月 20 日（周五） 上午 2－5 节 （第 5 节研讨） 7 月 22 日（周日） 考 试 注：我们建设有课程网站“微积分的一流化进程” http://fdjpkc.fudan.edu.cn/d201353/main.psp。网站上已 发布 2015、2016 年本暑期课程的全程录像，以及其它相关信息，可供参考