9.将下列坐标变换公式写成复数的形式 x=x+a 1)平移公式: y=y+b x cosa-yI sin a, 2)旋转公式 y=x, sina+ y, cos a 解:设A=a1+i,1=x1+,z=x+jy,则有 1)2==1+A: 2)===(cos a+isin a)==e 10.一个复数乘以-i,它的模与辐角有何改变? 解:设复数二==|e,则x(-)=11ee2=e 可知复数的模不变, 辐角减少z。 1l.证明:|=1+2P+|21-2P=2(=1P+|=2),并说明其几何意义。 证明:|=1+2P+| (二1+=2(1+2)+(=1-2(=1-2) 2(=1=1+2=2) 2(=1|+|=2P) 其几何意义平行四边形的对角线长度平方的和等于四个边的平方的和 12.证明下列各题 1)任何有理分式函数R(z) P(=) 可以化为X+iY的形式,其中X与Y为具 2(=) 有实系数的x与y的有理分式函数 2)如果R(二)为1)中的有理分式函数,但具有实系数,那么R(三)=X-iY 3)如果复数a+ib是实系数方程 n-+…+anz+an=0 的根,那么a-ib也是它的根。 证1)R(=)= P(=)P(=)Q(=)Re(P(=)Q(=).Im(P(=)Q(二) Q(=)Q(=)Q(二) qx, y) 2)R(2)sP(2)_P(=)P(=) =X+i=X-Iy Q=)Q()(Q() 3)事实上= cos19ϕ + isin19ϕ 9．将下列坐标变换公式写成复数的形式： 1）平移公式： 1 1 1 1 , ; x x a y y b ⎧ = + ⎨ ⎩ = + 2）旋转公式： 1 1 1 1 cos sin , sin cos . x x y y x y α α α α ⎧ = − ⎨ ⎩ = + 解：设 1 1 A a = + ib ， 1 1 z x iy = + 1 ， z x = + iy ，则有 1） z z = 1 + A；2） i 1 1 z z (cos isin ) z e α = + α α = 。 10．一个复数乘以-i，它的模与辐角有何改变？ 解：设复数 z =| z | eiArg z ，则 ( ) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − − =| | ⋅ = 2 i Arg 2 i iArg π z π z z i z e e |z|e ，可知复数的模不变， 辐角减少 2 π 。 11．证明： ，并说明其几何意义。 2 2 2 1 2 1 2 1 2 | | z z + + | z − z | = 2(| z | + | z 2 | ) 证明： 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 1 2 | | | | ( )( ) ( )( 2( ) 2(| | | | ) z z z z z z z z z z z z z z z z z z + + − = + + + − − = + = + ) 其几何意义平行四边形的对角线长度平方的和等于四个边的平方的和。 12．证明下列各题： 1）任何有理分式函数 ( ) ( ) ( ) P z R z Q z = 可以化为 X + iY 的形式，其中 X 与Y 为具 有实系数的 x 与 y 的有理分式函数； 2）如果 R(z) 为 1）中的有理分式函数，但具有实系数，那么 R( ) z X = −iY ； 3）如果复数a + ib 是实系数方程 1 0 1 1 0 n n n n a z a z a z a − + + + " − + = 的根，那么 a − ib 也是它的根。 证 1） ( ) ( ) ( ) Re( ( ) ( )) Im( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( , ) P z P z Q z P z Q z P z Q z R z Q z Q z Q z q x y q x y = = = + ; 2） ( ) ( ) ( ) ( ) i i ( ) ( ) ( ) P z P z P z R z X Q z Q z Q z ⎛ ⎞ = = = ⎜ ⎟ = + Y = − X Y ⎝ ⎠ ; 3）事实上 ( ) 1 0 1 1 n n P z n n a z a z a z a − = + +"+ − + 4