1B2,月|=0→kn1=-a2,B1 IP,, B, B3=a3+k32月2+k3B1,B3≠0(否则a1,a2,a3线性相关) B3,B1l=0→k3 [a3, B,I IP,, Bl B,A2=0k÷la3,B1 IB2,月2l B,=ar+k,1B1+…+k,1B1,B,≠0(否则a1,…a,线性相关) B,Bl=0→k.ala,B IP B =1,2,…,r-1) 结论:月1,B2,…,月两两正交且非零→B1,B2,…,B线性无关 →月,B2,…,B是V的正交基 →令=m。B,则u1,n2,…,u,是V的标准正交基 B 例12已知向量空间V3的基为 ax1=(1,1,0,0),a2=(1,0,1,0),a3=(-1,0,0,1) 求v3的一组正交基 解月=a1=(1,1,0,0) B2=a2+k21月1=a2+(-)月1=(,-,1,0) B3=a3+k32B2+k3月1=a2+B2+B1=(-,,,1) 故V的一组正交基为B1,B2,B319 [ , ] [ , ] [ , ] 0 1 1 2 1 2 1 21       =  k = −  3 =  3 + k32 2 + k31 1 ,  3  0 （否则 1 2 3  , , 线性相关） [ , ] [ , ] [ , ] 0 1 1 3 1 3 1 31       =  k = − [ , ] [ , ] [ , ] 0 2 2 3 2 3 2 32       =  k = − ………………  r =  r + kr,r−1 r−1 ++ kr1 1 ,  r  0 （否则   r , , 1  线性相关） ( 1,2, , 1) [ , ] [ , ] [ , ] = 0  k = − j = r − j j r j r j rj        结论：    r , , , 1 2  两两正交且非零     r , , , 1 2  线性无关     r , , , 1 2  是 V 的正交基  令 j j uj   1 = , 则 u u ur , , , 1 2  是 V 的标准正交基 例 12 已知向量空间 3 V 的基为 (1,1,0,0) 1 = , (1,0,1,0)  2 = , ( 1,0,0,1)  3 = − 求 3 V 的一组正交基． 解 (1,1,0,0) 1 =1 = ,1,0) 2 1 , 2 1 ) ( 2 1 (  2 =  2 + k21 1 =  2 + −  1 = − ,1) 3 1 , 3 1 , 3 1 ( 2 1 3 1  3 =  3 + k32 2 + k31 1 =  2 +  2 +  1 = − 故 3 V 的一组正交基为 1 2 3  ,  ,  ．