第六章二阶矩过程与随机分析初步 61二阶矩过程 定义611:若随机过程X(,t∈7有EX(o)2<∞,则称X()为二阶矩过程 以L2记所有二阶绝对矩有限的随机变量全体。由 Schwarz不等式:X,Y∈L2 x)≤ EX Er,对于二阶矩过程其均值函数(0)=EX(O),协方差函数 I(s,1)=E(X(s)-(s)(X(1)-;(),相关函数R(s,1)=E(s)X()总是存在的 若把几乎处处相等的两个随机变量看成一个等价类,即若P(X≠Y)=0,则 称X=},L2首先是一个线性空间,定义X,Y∈L2,(X,Y)=EXY,为L2空间 上的内积(,),由此内积还可以诱导出L2上的一个范数‖,wX∈L2 x=(x,x)3=(1x)。从而xy∈L,dx,1)=x-y度量了两个随机变 量之间的距离 定理611:L2是 Hilbert空间(完备的内积空间) 62均方收斂、连续、微分和积分 定义62.1:{xn}cL2,X∈L2,称Xn均方收斂到X,并记为 lim X=X,若 lim EX-X=0。 定理62.l:若 c lim X=X,limn=Y,则 D)lim Ex, =EX=E lim x, lim EIx =ELX -Elim x: 2) lim EX Y=EXY 定理622:(均方收敛准则){Xn}<L2均方收敛台 lim eX X=a。此外,若X 均方收敛到X,则a=Ex第六章 二阶矩过程与随机分析初步 6.1 二阶矩过程 定义 6.1.1：若随机过程 X (t),t ∈T 有 < ∞ 2 E X (t) ，则称 X (t)为二阶矩过程。 以 L2 记所有二阶绝对矩有限的随机变量全体。由 Schwarz 不等式： X ,Y ∈ L2 ， ( )2 2 2 E XY ≤ E X E Y ，对于二阶矩过程其均值函数 µ(t) = EX (t) ，协方差函数 ( )( ，相关函数 总是存在的。 ______________ Γ(s,t) = E X (s) − µ(s) X (t) − µ(t)) ______ R(s,t) = EX (s) X (t) 若把几乎处处相等的两个随机变量看成一个等价类，即若 ，则 称 P(X ≠ Y) = 0 X = Y ，L2 首先是一个线性空间，定义 2 ∀X ,Y ∈ L ，(X ,Y) = EXY ，为 空间 上的内积 ，由此内积还可以诱导出 上的一个范数 L2 (⋅,⋅) L2 ⋅ ， ∀X ∈ L2 ， ( )2 1 2 2 1 X = (X , X ) = E X 。从而 2 ∀X ,Y ∈ L ，d(X ,Y) = X − Y 度量了两个随机变 量之间的距离。 定理 6.1.1： L2 是 Hilbert 空间(完备的内积空间)。 6.2 均方收敛、连续、微分和积分 定义 6.2.1：{ } X n ⊂ L2 ， X ∈ L2 ，称 X n 均方收敛到 X ，并记为 X n X ，若 n = →∞ lim lim 0 2 − = →∞ E X n X n 。 定理 6.2.1：若 X n X ， n = →∞ lim Yn Y n = →∞ lim ，则 1) 2 2 2 lim lim ,lim lim n n n n n n n n EX EX E X E X E X E X →∞ →∞ →∞ →∞ = = = = ； 2) EXnYm EXY m n = →∞ →∞ lim 。 定理 6.2.2：(均方收敛准则){ } X n ⊂ L2 均方收敛⇔ = α →∞ →∞ n m m n lim EX X 。此外，若 均方收敛到 X n X ，则 2 α = E X 。 1