§5.2可积函数 定理5.2.1(levi定理)若φ,(x)为可测集E上的非负可测函数列, 且满足中n(x)≤中n(x),中,(x)→f(x)(n→+∞),则 fdx=lim「φdx 证明GG,E)={(x,y)10≤yf(x)},G{Φn,E)={(x,y)10≤y<中。}然 而G(p,E)cG(pn,E),且G(,.B)=∪c(n,E),由外极限定理知:。fdx mG(,E)=lmG(,E)=m∫中,d.证毕 定理5.2.2( Fatou引理)若φn(x)为可测集E上的非负可测函数列, 则[limφ,(x)dx≤lim[φ,d 证明因为Iim中n(x)= sup inf中n(x),令Ws(x)= inf o(x),则 n(x)≤n(x),im中n(x)=limn(x),于是[lim中n(x)dx 「。mw(x)kx=m。甲x=m』W≤m中,d,证毕。 定理5.2.3(控制收敛定理)若f,(x)为可测集E上的可测函数列,存 在E上可积函数F(x)满足n(x)≤F(),fn()-f(x)ae于E,则fx fn dx 证明F(x)+f(x)≥0且在E上可测,则由定理5.2.2知 lim [F(x)+f(x)]dx< lim LF(x+f(x)]dx§５.２ 可积函数 定理５.２.１ (levi 定理)若 φn (x)为可测集 E 上的非负可测函数列， 且满足 φn (x)≤φn+1 (x)，φn (x)→f(x) (n→＋∞)，则 ∫E fdx＝n→∞ lim ∫E φn dx 证明 G ( ) f , E ＝｛(x,y)｜0≤y<f(x)｝，G ( E) n Φ , ＝｛(x,y)｜0≤y<φn ｝然 而 G ( ) Φn , E ⊂ G ( ) Φn+1 , E ，且 G ( f , E)＝U ∞ n=1 G ( E) n Φ , ，由外极限定理知：∫E fdx ＝mG ( ) f , E ＝n→∞ lim mG ( ) Φn , E ＝n→∞ lim ∫E φn dx. 证毕 定理５.２.２ (Fatou 引理)若 φn (x)为可测集 E 上的非负可测函数列， 则∫E n→∞ limφn (x)dx≤n→∞ lim ∫E φn dx 证明 因为n→∞ lim φn (x)＝ 1 sup N≥ n≥N inf φn (x)，令 ψ N (x)＝ n≥N inf φ n (x)，则 ψn (x)≤ψn+1 (x)，n→∞ limφn (x)＝n→∞ lim ψn (x)，于是∫E n→∞ limφn (x)dx＝ ∫E N→∞ lim ψ N (x)dx＝ N→∞ lim ∫E ψ N dx＝ N→∞ lim ∫E ψ N dx≤n→∞ lim ∫E φn dx，证毕。 定理５.２.３ （控制收敛定理） 若 f n (x)为可测集 E 上的可测函数列， 存 在 E 上可积函数 F(x)满足|f n (x)|≤F(x)，f n (x)─→f(x) a.e 于 E，则 ∫E fdx ＝n→∞ lim ∫E f n dx 证明 F(x)＋f n (x)≥0 且在 E 上可测，则由定理５.２.２知 ∫E n→∞ lim [F(x)＋f n (x)]dx≤n→∞ lim ∫E [F(x)＋f n (x)]dx