Methods of Mathematical Physics(2016.09) Chapter 3 Series of complex variable functions LMal@a Phys. FDU c=∑(-()+() (2k)!台( +1) COS z+Isin (2k+1)! 2.多值函数的 Taylor级数(有限远常点附近的级数展开) 对于多值函数,在确定单值分支后,可以象单值函数一样展开。 例1:在z=0的邻域展开h(1+) 解:l(1+)的支点为z=-1和z=∞,由z=-1沿负实轴到二=∞作割线 (当然有其它作法,只是这样作割线,其收敛半径最大)。 取单值分支:规定上岸ag1+x) D=丌 则下岸arg(1+z)=q=-z.因此 z=-1+pe(-x<q<),那么 于是 h(1+)==l.e")=0 (1+z l)"(n-1)! (-1)°(n-1) 于是,M1+)=∑(=D(-0”=∑(D=<1R=1(=0→-1 n 自证:若取另一单值分支:规定上岸arg1+z)=q=3r,则下岸 arg(1+2)=0=z因此,z=-1+p°(<p<3r).那么,z=0=-1+1·e2n(此 2是因为再加上x就有上岸的3x).于是(1+==h(1e2)=2m 又h(1+-) (-1)"(n-l)(-1)2(n-1) =(-1)”(n-1)! 1+1Methods of Mathematical Physics (2016.09) Chapter 3 Series of complex variable functions YLMa@Phys.FDU 13                   2 2 1 0 0 0 2 2 1 0 0 ! 2 ! 2 1 ! 1 1 cos sin . 2 ! 2 1 ! n k k iz n k k k k k k k k iz iz iz e n k k z i z z i z k k                             2. 多值函数的 Taylor 级数（有限远常点附近的级数展开）： 对于多值函数，在确定单值分支后，可以象单值函数一样展开。 例 1：在 z  0 的邻域展开 ln(1 z). 解： ln(1 z) 的支点为 z  1 和 z   ，由 z  1 沿负实轴到 z   作割线 （当然有其它作法，只是这样作割线，其收敛半径最大）。 取单值分支：规定上岸 arg(1 z)   ， 则下岸 arg(1 z)    . 因此，   i z  1 e (  ) ，那么 0 0 1 1 i z     e . 于是 ln(1 ) ln(1 ) 0 0 0      i z z e . 又     1 0 0 1 1 0 d ( 1) ( 1)! ln(1 ) d 1 ( 1) ( 1)! ( 1) ( 1)! 1 1 1 n n n n z z n n n i n z z z n n e                    于是，               1 1 1 1 ( 1) ! ( 1) ( 1)! ln(1 ) n n n n n n z n z n n z [ z R z      1, 1( 0 1) ]. 自 证 ： 若 取 另 一 单 值 分 支 ： 规 定 上 岸 arg(1 z)   3 ，则下岸 arg(1 )    z   .因此，   i z  1 e (   3). 那么， 2 0 1 1 i z     e （此 2 是因为再加上  就有上岸的 3 ）. 于是 z e i i z   ln(1 ) ln(1 ) 2 2 0      . 又     ( 1) ( 1)! 1 1 1 ( 1) ( 1)! 1 ( 1) ( 1)! ln(1 ) d d 1 2 1 0 1 0                    n e n z n z z n n i n z n n z n n 