水木艾迪www.tsinghuatutorcom电话:010-62701055/82378805地址:清华同方科技广场B座609室 第六章概率论与数理统计 重要公式与结论 (1)P(=1-P(4) (2)P(∪B)=P(4)+P(B)-P(AB) P(AUBUC)=P(A)+(B)+(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC (3)P(4-B)=P(4)-P(AB)(4)P(4B)=P(4)-P(AB)P(4)=P(AB)+P(B) (5)条件概率P(|B)满足概率的所有性质 例如:P(41B)=1-P(4|B) P(4∪A1|B)=P(41|B)+P(41|B)-P(42|B) P(41A2|B)=P(4|B)P(A2|A1B) 6若,,“小叫0位小 1-∏(-P(4) (7)互斥、互逆与独立性之间的关系: A与B互逆→A与B互斥,但反之不成立, A与B互斥(或互逆)且均非零事件→A与B不独立 (8)若A,A2…Ln,B1,B2…,B相互独立,则f(4,A2…,A)与g(B1,B2…,Bn)也相互独立,其中f()8()分别表示对相 事件作任意事件运算后所得的事件,另外,概率为1(或0)的事件与任何事件相互独立 一维随机变量及其概率分布 重要公式与结论 X~N)→c(0)=-,o) X~Nu,a2)→ 且 d-a)=P(X≤-d)=1-d(a (3)X~E(4)=P(x>+1|x>s)=P(x>) (4)P(X≤a Y-G(p)=P(X=m+k|X>m)=P(X=k) (5)离散型随机变量的分布函数为阶梯间断函数:连续型随机变量的分布函数为连续函数,但不一定为处处可导函数 (6)存在既非离散也非连续型随机变量 三、二维随机变量及其概率分布 重要公式与结论: (1)边缘密度公式:f()=(x,y,(x)=(, (2)PI(x, r)ED]=f(x,ykdy (3)若(X,)服从二维正态分布N(a1k2,G,G,p)则有 1.x~N(1,G2)x~M(a22) 2x与Y相互独立ep=0,即X与Y不相关 N(CH,+C2u2, C202+C202 4.X关于Y=y的条件分布为 +p(-吗2)o F关于X=x的条件分布为 (4)若X与y独立,且分别服从N(4,3)N(2,2)则 (x, r)-N, #2, 01, 02, 0)Cx +CY-NCA, Cha, Cio? +C2o2水木艾迪 www.tsinghuatutor.com 电话：010-62701055/82378805 地址：清华同方科技广场 B 座 609 室 第六章 概率论与数理统计 重要公式与结论 （1） ( ) 1−= ( ) APAP （2） ( ) () () ( ) +=∪ − ABPBPAPBAP ( ) () () () ( ) +=∪∪ + −− ( )− ( )+ (ABCPACPBCPABPCPBPAPCBAP ) （3） ( ) () ( −=− ABPAPBAP ) （4） P( ) ( ) −= ( ), ( ) ( ) += ( BAPABPAPABPAPBA ) （5）条件概率 满足概率的所有性质 (⋅ | BP ) 例如： P( ) −= ( ) |1| BAPBA ( )( ) 1 1 21 1 ( 2 ||| )( ) −+=∪ 21 | BAAPBAPBAPBAAP ( ) ( )( ) 21 = 1 ||| 12 BAAPBAPBAAP （6）若 21 L,,, AAA n 相互独立，则 ∏ ( ) = = =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ n i i n i i APAP 1 1 I ∏( ) ( ) = = −−=⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ n i i n i AP i AP 1 1 U 11 （7）互斥、互逆与独立性之间的关系： A 与 B 互逆⇒ A 与 B 互斥，但反之不成立， A 与 B 互斥（或互逆）且均非零事件⇒ A 与 B 不独立。 （8）若 21 L m 21 L,,,,,,, BBBAAA n 相互独立，则 ( ) AAAf m ,,, 21 L 与 ( ) BBBg n ,,, 21 L 也相互独立，其中 )分别表示对相应 事件作任意事件运算后所得的事件，另外，概率为 1（或 0）的事件与任何事件相互独立。 () ( , gf ⋅⋅ 二、一维随机变量及其概率分布 重要公式与结论： （1） ( ) () ( ) , 2 1 0, 2 1 01,0~ =Φ=⇒ π NX ϕ （2） ( ,~ ) ( ) 1,0~ 2 N X NX σ μ σμ − ⇒ 且 () ( ) ( 1 Φ−=−≤=−Φ aaXPa ) ( ) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − Φ=≤ σ a μ （3） ~ () ( λ >⇒ + | ) ( ) >=> tXPsXtsXPEX （4） aXP ~ () ( | ) ( ) ==>+=⇒ kXPmXkmXPpGX （5）离散型随机变量的分布函数为阶梯间断函数；连续型随机变量的分布函数为连续函数，但不一定为处处可导函数。 （6）存在既非离散也非连续型随机变量。 三、二维随机变量及其概率分布 重要公式与结论： （1）边缘密度公式： () ( ) () ( ) ,, ,, （2） ∫ ∫ +∞ ∞− +∞ ∞− = = dxyxfxfdyyxfxf X Y [( ) ] ( )dxdyyxfDYXP D ∫∫ , =∈ , （3）若 服从二维正态分布 ( ,YX ) ( ,,,, ρσσμμ ) 2 2 2 N 121 则有 1． ( ) ( ) 2 2 σμ 11 NYNX ,~,,~ σμ 22 2. X 与 相互独立 Y ⇔ ρ = 0 ，即 X 与Y 不相关 3． ( ρσσσσμμ ) 2121 2 2 2 2 2 1 2 1 2 12211 C + ~ + , ++ 2 CCCCCCNYCX 4. X 关于Y = y 的条件分布为： ( ) ( )⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −−+ 2 2 12 2 1 1 1, ρσμ σ σ N ρμ y Y 关于 的条件分布为： = xX ( ) ( )⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −−+ 22 21 1 2 2 1, ρσμ σ σ N ρμ y （4）若 X 与Y 独立，且分别服从 ( ) ( ) 2 22 2 11 NN ,,, σμσμ 则 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 2 1 2 12211 2 2 2 121 NYX σσμμ ,0,,,,~, + ~ + , + CCCCNYCXC σσμμ 35