命题洛仑兹变换所组成的集合L(关于映射的复合)构成群(称为洛仑兹群) 证明(i)显然E∈L (i)若A,B∈L,对a,B∈R有 (ABa, aB B)=(Ba, BB)=(a, B) 故AB是广义洛仑兹变换.现设a为一正类时向量,则Ba是正类时向量,同理,ABa也是正 类时向量,故AB∈L (i)设A∈L,显然A可逆,对va,B∈R4有 (a, B)=(aa a, AA" B)=(A"a,A"B) 于是A-是广义洛仑兹变换.现设a为一正类时向量,假如Aa不是正类时向量,但它仍 为类时向量.由于A∈L,故AA-a)=a不是正类时向量,矛盾 由(i)、(ii)、(ii)可知,L是一个群 定义设V是复数域C上n=2m维线性空间,f(α,β)是V内一个满秩的反对称双线性函 数定义V内两个向量a,B的内积为 (a, B)=f(a,B) 具有这种内积的线性空间称为辛空间 若(a,B)=0,则称a,B正交 设E1,E2…,En为V的一组基令 (E1,E1)=g(i,j1,2,…,n 称G=(g)为这组基的度量矩阵,它就是f在这组基下的矩阵 命题设V是n=2m维辛空间,则在V内存在一组基7,n2,7n,其度量矩阵为 G= 其中A=/0 这样的基称为第一类辛基 证明对m作数学归纳法命题 洛仑兹变换所组成的集合 L（关于映射的复合）构成群（称为洛仑兹群）. 证明 (i)显然 E  L; (ii)若 A,B  L,对  ,   R 4 有 (AB  ,AB  )=(B  ,B  )=(  ,  ) 故 AB 是广义洛仑兹变换.现设  为一正类时向量,则 B  是正类时向量,,同理,AB  也是正 类时向量,故 AB  L. (iii)设 A  L,显然 A 可逆, 对  ,   R 4 有 (  ,  )=(AA −1  ,AA −1  )=(A −1  ,A −1  ) 于是 A −1 是广义洛仑兹变换. 现设  为一正类时向量,假如 A −1  不是正类时向量,但它仍 为类时向量.由于 A  L,故 A(A −1  )=  不是正类时向量,矛盾. 由(i)、（ii）、（iii）可知,L 是一个群. 定义 设 V 是复数域 C 上 n=2m 维线性空间,f( ,  )是 V 内一个满秩的反对称双线性函 数.定义 V 内两个向量 ,  的内积为 ( ,  )=f( ,  ) 具有这种内积的线性空间称为辛空间. 若( ,  )=0,则称 ,  正交. 设 1 2 n  ， ，， 为 V 的一组基.令 ( , ) i j   = ij g (i,j=1,2,…，n) 称 G (g ) = ij 为这组基的度量矩阵，它就是 f 在这组基下的矩阵. 命题 设 V 是 n=2m 维辛空间,则在 V 内存在一组基 1，2，，n ,其度量矩阵为             = A A A G  ,其中       − = 1 0 0 1 A 这样的基称为第一类辛基. 证明 对 m 作数学归纳法