·1090· 工程科学学报，第41卷，第8期 少这部分的误差.比较修正前后的关节力矩误差： 函数模型，将无法保证所有速度下的波动摩擦力矩 修正前的原始力矩误差，其均值为0.6229N·m,方 都能被有效修正.此外，由于本文将关节的力矩误 差为1.2476N2m2:修正后的力矩误差，均值为- 差数据全部作为波动摩擦力矩进行建模，即式(5)， 0.0460Nm,方差为0.6628N2m2.如果忽略关节 使得力矩误差中的其他建模误差成分也被当做波动 转向改变时段，只对平稳运动的区域进行分析，则原 摩擦力矩并引入神经网络进行训练，如关节中重力 始力矩误差的均值为0.6946N·m,方差为0.6846 项力矩误差等.这使与文献[5]的建模方法相比，本 N2m2.修正后的力矩误差，其均值为-0.008618 文的神经网络模型不仅可以计算到关节的波动摩擦 Nm,而方差为0.1659N2m2,是修正前的24.23%. 力矩，同时也计算出其他可能存在的力矩误差.这 修正后力矩误差有98.80%的时间都保持在[-1， 可以解释在图9中，修正后的力矩误差曲线不仅没 1]N·m的范围内，且有78.82%保持在[-0.5， 有周期性波动的特性，同时其均值相比于修正前的 0.5]Nm的范围之内. 曲线也更加接近于零 表2各轨迹点的三维坐标（单位：m) Table 2 Three-dimensional coordinates of each track point (unit:m) 示教点 2 P1 0.3199 -0.1666 0.06901 2 0.3309 0.2487 0.04331 一修正后的力矩误差 3 0.2469 0.2080 0.09832 修正前的力矩误差 -10L P4 0.3785 -0.1641 0.04621 0 10 20 30 40 50 时间s 1.0 图9未修正和修正后的关节力矩误差 是0.8 Fig.9 Uncorrected and corrected joint torque error 0A0 10 30 2.0 20 40 时间s 1.5 0.1 b 1.0 0 0.5 -0.1 年0.26 10 20 30 40 50 60 05 时间s -1.0 修正后的力矩误差 图7测试实验关节二的转角曲线和转速曲线.(a)转角曲线： -1.5 修正前的力矩误差 (b)转速曲线 28 3032 343638 40424446 时间s Fig.7 Angle curve and speed curve of the experimental test:angle 图10图9的部分放大图 curve;(b)speed curve Fig.10 Partial enlarged view of Figure 9 -5 10 4结论 -15 N -20 (1)通过实验研究机器人谐波减速器关节中的 -25 一计算力矩 波动摩擦力矩，发现波动摩擦力矩除了与关节转角 -30 一实际力矩 存在周期性关系外，其波动摩擦力矩的幅值也会随 10 20 30 40 50 60 着关节转速的增加而减小. 时间s (2)提出采用傅里叶级数和BP神经网络结合 图8测试实验关节二的实际力矩和计算力矩 的方法对波动摩擦力矩进行建模.通过添加傅里叶 Fig.8 Actual and calculated torque in the test experiment 级数函数作为BP神经网络的辅助输入，克服了力 在图9中，可以看到在不同关节速度下，波动摩 矩误差曲线因存在高频波动而难以拟合的困难.通 擦力矩的幅值都有所不同，而修正后的力矩误差曲 过对神经网络进行离散训练，完成对波动摩擦力矩 线则基本不存在周期性波动.若使用文献[4]和文 的建模，并在原有的动力学模型中加入该波动摩擦 献[6-7]中恒定幅值的三角函数模型或傅里叶级数 力矩项，提高了模型的准确性和对关节力矩的计算工程科学学报,第 41 卷,第 8 期 少这部分的误差. 比较修正前后的关节力矩误差: 修正前的原始力矩误差,其均值为 0郾 6229 N·m,方 差为 1郾 2476 N 2·m 2 ;修正后的力矩误差,均值为 - 0郾 0460 N·m,方差为 0郾 6628 N 2·m 2 . 如果忽略关节 转向改变时段,只对平稳运动的区域进行分析,则原 始力矩误差的均值为 0郾 6946 N·m,方差为 0郾 6846 N 2·m 2 . 修正后的力矩误差,其均值为 - 0郾 008618 N·m,而方差为 0郾 1659 N 2·m 2 ,是修正前的 24郾 23% . 修正后力矩误差有 98郾 80% 的时间都保持在[ - 1, 1] N·m 的范围内,且有 78郾 82% 保持在[ - 0郾 5, 0郾 5] N·m 的范围之内. 表 2 各轨迹点的三维坐标(单位:m) Table 2 Three鄄dimensional coordinates of each track point (unit: m) 示教点 X Y Z P1 0郾 3199 - 0郾 1666 0郾 06901 P2 0郾 3309 0郾 2487 0郾 04331 P3 0郾 2469 0郾 2080 0郾 09832 P4 0郾 3785 - 0郾 1641 0郾 04621 图 7 测试实验关节二的转角曲线和转速曲线 郾 ( a) 转角曲线; (b) 转速曲线 Fig. 7 Angle curve and speed curve of the experimental test: angle curve; (b) speed curve 图 8 测试实验关节二的实际力矩和计算力矩 Fig. 8 Actual and calculated torque in the test experiment 在图 9 中,可以看到在不同关节速度下,波动摩 擦力矩的幅值都有所不同,而修正后的力矩误差曲 线则基本不存在周期性波动. 若使用文献[4]和文 献[6鄄鄄7]中恒定幅值的三角函数模型或傅里叶级数 函数模型,将无法保证所有速度下的波动摩擦力矩 都能被有效修正. 此外,由于本文将关节的力矩误 差数据全部作为波动摩擦力矩进行建模,即式(5), 使得力矩误差中的其他建模误差成分也被当做波动 摩擦力矩并引入神经网络进行训练,如关节中重力 项力矩误差等. 这使与文献[5]的建模方法相比,本 文的神经网络模型不仅可以计算到关节的波动摩擦 力矩,同时也计算出其他可能存在的力矩误差. 这 可以解释在图 9 中,修正后的力矩误差曲线不仅没 有周期性波动的特性,同时其均值相比于修正前的 曲线也更加接近于零. 图 9 未修正和修正后的关节力矩误差 Fig. 9 Uncorrected and corrected joint torque error 图 10 图 9 的部分放大图 Fig. 10 Partial enlarged view of Figure 9 4 结论 (1)通过实验研究机器人谐波减速器关节中的 波动摩擦力矩,发现波动摩擦力矩除了与关节转角 存在周期性关系外,其波动摩擦力矩的幅值也会随 着关节转速的增加而减小. (2)提出采用傅里叶级数和 BP 神经网络结合 的方法对波动摩擦力矩进行建模. 通过添加傅里叶 级数函数作为 BP 神经网络的辅助输入,克服了力 矩误差曲线因存在高频波动而难以拟合的困难. 通 过对神经网络进行离散训练,完成对波动摩擦力矩 的建模,并在原有的动力学模型中加入该波动摩擦 力矩项,提高了模型的准确性和对关节力矩的计算 ·1090·