反，50%正50%反)是一个纳什均衡。 3均衡解的存在性 基于角谷静夫(Kakutani)的不动点定理，均衡解存在性的证明已经发表在 Proc.Nat.Acad.Sci.U.S.A,36,pp.48-49。这里纳什给出了一种基于布劳 维尔(Brouwer)不动点定理的更为简便的证法。这种证明的主要思想是，在n 维空间里构造一个连续变换T,使得T的不动点就是博弈的均衡解。 定理2任何有限博弈都有一个均衡解。 证明： 令$为一个n维混合策略向量，p($)是与之对应的第i个参与人的支付函数。 仍记pia($)=p($;a)。我们现在定义一族连续函数： 中ia($)=max{0,pia($)-p($)} 对$的每一个分量s,我们定义一个新的混合策略s' s=s+2a中a(S)ma 1+∑a中ia($) 合起来构成新的n维混合策略向量$=(S1',S2',,Sn。 现在我们只要证明，映射T:$→$'的不动点就是均衡解。 首先考虑任意n维混合策略向量$。在$中第ⅰ个人的策略s将用到他的一些 纯策略。在这些纯策略当中，有一些纯策略，如πg,满足pa($)≤p($)。这表 示第ⅰ个人把自己的策略换成π后，收益反而下降了。我们说这样的纯策略是 “最不经济的”，它将使得中($)=0。 现在如果$在映射T下是一个不动点，那么s中用到的纯策略π在映射T下 一定不减。于是，为使s表达式的分母不超过1，对所有的B,中B($)的值必为 零。 因此，如果$是T的一个不动点，那么对任意i和B有中B($)=0。这意味着 任何参与人都不可能通过改变策略来使自己的支付提高，而这正是均衡解的判据。 反过来，如果$是一个均衡解，则所有的中均为0，这就使得$是在T作用下 的一个不动点。反，50%正 50%反）是一个纳什均衡。 3 均衡解的存在性 基于角谷静夫（Kakutani）的不动点定理，均衡解存在性的证明已经发表在 Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A，36，pp.48-49。这里纳什给出了一种基于布劳 维尔（Brouwer）不动点定理的更为简便的证法。这种证明的主要思想是，在 n 维空间里构造一个连续变换 T，使得 T 的不动点就是博弈的均衡解。 定理 2 任何有限博弈都有一个均衡解。 证明： 令$为一个 n 维混合策略向量，pi $ 是与之对应的第 i 个参与人的支付函数。 仍记piα $ = pi $；πiα 。我们现在定义一族连续函数： φiα $ = max 0，piα $ − pi $ 对$的每一个分量si，我们定义一个新的混合策略si' s i ' = si + ￾αφiα $ πiα 1 + ￾αφiα $ 合起来构成新的 n 维混合策略向量$' = s1 '，s2 '，……，sn ' 。 现在我们只要证明，映射 T：$→$' 的不动点就是均衡解。 首先考虑任意 n 维混合策略向量$。在$中第 i 个人的策略si将用到他的一些 纯策略。在这些纯策略当中，有一些纯策略，如πiα，满足piα $ ≤ pi $ 。这表 示第 i 个人把自己的策略换成πiα后，收益反而下降了。我们说这样的纯策略是 “最不经济的”，它将使得φiα $ = 0。 现在如果$在映射 T 下是一个不动点，那么si中用到的纯策略πiα在映射 T 下 一定不减。于是，为使s i '表达式的分母不超过 1，对所有的β，φiβ $ 的值必为 零。 因此，如果$是 T 的一个不动点，那么对任意 i 和β有φiβ $ = 0。这意味着 任何参与人都不可能通过改变策略来使自己的支付提高，而这正是均衡解的判据。 反过来，如果$是一个均衡解，则所有的φ均为 0，这就使得$是在 T 作用下 的一个不动点