高维微分学——隐映照定理的应用 (曲线与曲面的隐式表示) 复旦力学谢锡麟 16年3月15日 1知识要素 1.1隐映照定理 定理1.1(隐映照定理),.设有映照∫(x,y) f(x,y):R× R> Dx X Dy3{x,y→f(x,y)∈Rn 满足 f(x,y)∈(D2×D;Rn); 2.(x00)∈D2xD使得{J(,y)=0∈g Dyf(x0,3)∈(Rn;R)可逆 则有 1.彐B(x0)cDx,B1(30)CDy,有Vc∈B(x0),3y∈B(30)满足f(x,v2)=0∈Rn, 由此可作5(x):B(x0)3x(x)∈Rn,满足J∈(x)∈B1(yo) ∫(x,∈(c)=0∈R”; 2.(x)∈1(Bx(xo)Rn) 1.2曲线的隐式表示 现考虑Rm中的约束 fl ∈Rmf(x) (a)=0∈R 基于隐映照定理,针对上述约束,有以下结论微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学——隐映照定理的应用 （曲线与曲面的隐式表示） 复旦力学 谢锡麟 2016 年 3 月 15 日 1 知识要素 1.1 隐映照定理 定理 1.1 (隐映照定理). 设有映照 f(x, y) f(x, y) : R m × R n ⊃ Dx × Dy ∋ {x, y} 7→ f(x, y) ∈ R n 满足: 1. f(x, y) ∈ C 1 (Dx × Dy; R n ); 2. ∃ (x0, y0 ) ∈ Dx × Dy 使得    f(x, y) = 0 ∈ R n , Dyf(x0, y0 ) ∈ L (R n ; R n )可逆, 则有 1. ∃ Bλ(x0) ⊂ Dx, Bµ(y0 ) ⊂ Dy, 有 ∀ x ∈ Bλ(x0), ∃ !yx ∈ Bµ(y0 ) 满足 f(x, yx ) = 0 ∈ R n , 由此可作 ξ(x) : Bλ(x0) ∋ x 7→ ξ(x) ∈ R n , 满足    ξ(x) ∈ Bµ(y0 ), f(x, ξ(x)) = 0 ∈ R n ; 2. ξ(x) ∈ C 1 (Bλ(x0); R n ). 1.2 曲线的隐式表示 现考虑 R m 中的约束 Σ =    x ∈ R m         f(x) =   f 1 . . . f m−1   (x) = 0 ∈ R m−1    , 基于隐映照定理, 针对上述约束, 有以下结论: 1