命题酉空间上的正规变换A的属于特征值λ的特征向量ξ的是共轭变换A'的属于特 征值λ的特征向量 证明按假设,有A5=5则 (A-5,A5-A5)=(A-AE)'5,A5-45) (5,(A-AE)(A-E)5) =(5,(A-AE)(A-AE)5) 从而A5=A5 命题酉空间上的正规变换的属于不同特征值的特征向量互相正交 证明设A5=A5,An=n则 A(5,n)=(A5,n)=(5,An)=(5,m)=(5,n) 必有(5,m)=0 定理n维酉空间上的正规变换在某组标准正交基下的矩阵是对角阵. 证明对维数n做数学归纳法 推论n维酉空间上的酉变换在某组标准正交基下的矩阵是对角阵. 命题厄米特变换的特征值都是实数 证明若A=45,则A5A5=A5=25→=2→λ是实数 推论n维酉空间上的厄米特变换在某组标准正交基下的矩阵是实对角阵 定理厄米特二次型∫在适当的酉变数替换下可以化为标准形 f=d,y d,yy 其中d1,…,dn都是实数 证明f的矩阵A是一个厄米特矩阵,于是存在酉矩阵U,使命题 酉空间上的正规变换 A 的属于特征值  的特征向量  的是共轭变换 A  的属于特 征值  的特征向量. 证明 按假设,有 A  =   则 (A   -   ,A   -   )=((A- E)   , A   -  ) =(  ,(A-  E)(A- E)   ) =(  ,(A-  E)  (A- E)  ) =(  ,0)=0 从而 A   =   . 命题 酉空间上的正规变换的属于不同特征值的特征向量互相正交. 证明 设 A  =   ,A  =   则  (  , )=(A  , )=(  ,A   )=(  ,   )=  (  , ) 必有(  , )=0. 定理 n 维酉空间上的正规变换在某组标准正交基下的矩阵是对角阵. 证明 对维数 n 做数学归纳法. 推论 n 维酉空间上的酉变换在某组标准正交基下的矩阵是对角阵. 命题 厄米特变换的特征值都是实数. 证明 若 A  =   ,则   =A   =A  =    =   是实数. 推论 n 维酉空间上的厄米特变换在某组标准正交基下的矩阵是实对角阵. 定理 厄米特二次型 f 在适当的酉变数替换下可以化为标准形 , 1 1 1 n n n f = d y y ++ d y y 其中 d dn , , 1  都是实数. 证明 f 的矩阵 A 是一个厄米特矩阵,于是存在酉矩阵 U,使