§1.3亲件概率与事件的相互独立性 0、引言 设A、B为任意两个事件,假设事件B已发生,前面我们己经研究了P(B),而 在实际问题往往需要我们去研究此时A发生的概率,为区别起见,我们把这种情况 下的概率记为P(A/B),称为事件B已经发生条件下事件A发生的条件概率 例1:考虑有两个孩子的家庭:Ω={(b,b)(b,g)(g,b,(g,g)} A:‘家中至少有一个男孩’,则P(A)3 B:‘家中至少有一个女孩’,则P(B)= 3 而P(AB)=1所以P(AB P(AB) P(B) 这就有了 条件概率 、定义:设A,B是两个随机事件,且P(B)>0,称P(A/B)=P(AB)P(B)为在 事件B发生条件下事件A发生的条件概率。 注:①P(B)=0时,条件概率无意义。(即条件不能是不可能事件) ②P(A/Ω)=P(AQ)/P(Ω2)=P(A)。(即P(A)是特殊的条件概率) 2、条件概率亦是概率,具有概率的某些性质: ①P(Φ/B)=0 ②PAB)=1-P(AB) ③P(4∪A/B)=P(A4B)+P(A2/B)-P(A1A12/B) 例2:设10件产品中有3件次品,现进行无放回地从中取出两件,求在第一次取 到次品的条件下,第二次取到的也是出次品的概率。 解:(符号化)令A1表示‘第i次取到次品’,i=1,2则要求的概率为 P(A2/A1)=P(A1A2)/P(A1)=(0=) 109 14概率论与数理统计教案 第一章随机事件与概率14 概率论与数理统计教案 第一章 随机事件与概率 §1.3 条件概率与事件的相互独立性 0、引言 设 A、B 为任意两个事件，假设事件 B 已发生，前面我们已经研究了 P（B），而 在实际问题往往需要我们去研究此时 A 发生的概率，为区别起见，我们把这种情况 下的概率记为 P(A/ B) ，称为事件 B 已经发生条件下事件 A 发生的条件概率。 例 1：考虑有两个孩子的家庭：  ={( , ),( , ),( , ),( , )} b b b g g b g g A：‘家中至少有一个男孩’，则 P（A）＝ 4 3 B：‘家中至少有一个女孩’，则 P（B）＝ 4 3 而 2 1 P(AB) = 所以 ( ) ( ) 4 3 4 2 3 2 ( / ) P B P AB P A B = = = 这就有了： 一、条件概率 1、定义：设 A，B 是两个随机事件，且 P(B)  0 ，称 P(A/ B) = P(AB)/ P(B) 为在 事件 B 发生条件下事件 A 发生的条件概率。 注：① P(B) = 0 时，条件概率无意义。（即条件不能是不可能事件） ② P(A/ ) = P(A)/ P() = P(A) 。（即 P(A) 是特殊的条件概率） 2、条件概率亦是概率，具有概率的某些性质： ① P( / B) = 0 ② P(A/ B) = 1− P(A/ B) ③ ( / ) ( / ) ( / ) ( / ) P A1  A2 B = P A1 B + P A2 B − P A1A2 B 例 2：设 10 件产品中有 3 件次品，现进行无放回地从中取出两件，求在第一次取 到次品的条件下，第二次取到的也是出次品的概率。 解：（符号化）令 Ai 表示‘第 i 次取到次品’，i=1,2 则要求的概率为 9 2 10 3 )/ 9 2 )( 10 3 ( / ) ( )/ ( ) ( P A2 A1 = P A1A2 P A1 = =