(2)R=1/lim =Im lim -n=0 (3)R=1/lim vla I =liml/|1+i|=1/ (4)R=l/lim va, =l R=1/lim 1/lim alch 1/lim /cos-=1 (6)R=1/lim vla, =lim(In inI=co 7.如果∑c=”的收敛半径为R,证明级数∑(Recn)="的收敛半径≥R 证明对于圆kR内的任意一点2,由已知∑G”绝对收敛即∑n收敛,又 因Re|skn},从而ecse出x鬥,故由正项级数的比较判别法∑Recn也 收敛即∑(Recn)=在R内绝对收敛,于是其收敛半径≥R。 8.证明:如果hmcm存在(≠∞),下列三个幂级数有相同的收敛半径 ∑ ∑ 证明设lim==P,则幂级数∑C2"的收敛半径为/l 幂级数∑4,的收效半径为R=m=m40+)=Mp cn+/(n+ 幂级数∑nCn=”-的收敛半径为R=1/lim+=lm 1/pl; n-y an+o(n+1)c 故以上三个幂级数有相同的收敛半径 9.设级数∑cn收敛,而∑|c1发散,证明∑cn="的收敛半径为1 本文件是从网上收集,严禁用于商业用途!我要答案网 www.51daan.net 本文件是从网上收集，严禁用于商业用途！ （2） 1 1 1 (1 ) 1 / li m l i m li m 0 1 n n n n n n n n a a n R a a n + →∞ →∞ → ∞ + + = = = + = ; （ 3 ） 1/ l i m n l i m1/ | 1 i | 1/ 2 n n n R a →∞ →∞ = = + = ； （ 4 ） 1/ l i m n 1 n n R a →∞ = = ； （ 5 ） 1 1/ lim n 1/ lim n ch 1/ lim n cos 1 n n n n i R a →∞ →∞ n n →∞ ⎛ ⎞ = = ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ = ； （ 6 ） 1/ l i m l i m | l n i | n n n n R a n →∞ →∞ = = = ∞ ; 7．如果 的收敛半径为 R，证明级数 的收敛半径 0 n n n c z ∞=∑ ( ) 0 Re n n n c z ∞=∑ ≥ R 。 证明 对于 圆 | z | < R 内的任意一点 z，由已知 绝对收敛即 0 n n n c z ∞=∑ 0 n n n c z ∞=∑ 收敛，又 因 Re n c ≤ c n ，从而 Re | | | | n n n n c z ≤ c z ，故由正项级数的比较 判 别 法 0 Re n n n c z ∞=∑ 也 收敛即 ( ) 在 0 Re n n n c z ∞=∑ | z | < R 内绝对收敛，于是其收敛半径 ≥ R 。 8．证明：如 果 1 lim n n n cc+ →∞ 存在（ ≠ ∞ ） ，下列三个幂级数有相同的收敛半径 n n ∑c z ； 1 1 c n n z n + + ∑ ； n 1 n nc z − ∑ 。 证明 设 1 lim n n n cc ρ + →∞ = ，则幂级数 的收敛半径为1/ n n ∑c z | ρ | ； 幂级数 1 1 c n n z n + + ∑ 的收敛半径为 1 1 /( 1 ) 1/ lim lim 1/ | | /( 2) n n n n n n a c n R a c n ρ + →∞ →∞ + + = = = + ； 幂级数 的收敛半径为 n 1 n nc z − ∑ 1 1 1/ l i m l i m 1/ | | ( 1) n n n n n n a n c R a n c ρ + →∞ →∞ + = = = + ； 故以上三个幂级数有相同的收敛半径。 9．设级数 收敛，而 0 n n c ∞=∑ 0 n n c ∞=∑ 发散，证明 0 n n n c z ∞=∑ 的收敛半径为 1 。 3